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关于圆与方程的知识点整理
一、标准方程?x?a???y?b??r1.求标准方程的方法——关键是求出圆心?a,b?和半径r
222①待定系数：往往已知圆上三点坐标，②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式
圆心在原点 x2?y2?r2?r?0? 过原点 ?x?a???y?b??a2?b2a2?b2?0 圆心在x轴上 ?x?a??y?r222222???r?0? 圆心在y轴上
22x2??y?b??r2?r?0?
x2??y?b??b2?b?0?
222圆心在x轴上且过原点 ?x?a??y?a与x轴相切 ?x?a???y?b??b2222?a?0? 圆心在y轴上且过原点
2?b?0? 与y轴相切 ?x?a???y?b?22?a2?a?0?
与两坐标轴都相切 ?x?a???y?b??a二、一般方程
?a?b?0?
x2?y2?Dx?Ey?F?0?D2?E2?4F?0? 1.Ax2?By2?Cxy?Dx?Ey?F?0表示圆方程则
?? ?A?B?0?A?B?0????C?0?C?0??D2?E2?4AF?022???D???E??4?F?0?????A?A???A?2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.D?E?4F?0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系
d?r?点在圆内；d?r?点在圆上；d?r?点在圆外 2.涉及最值：
（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值
22PBmin?BN?BC?r PAmin?AN?r?AC PBmax?BM?BC?r PAmax?AM?r?AC
四、直线与圆的位置关系
1.判断方法（d为圆心到直线的距离）
（1）相离?没有公共点???0?d?r（2）相切?只有一个公共点???0?d?r （3）相交?有两个公共点???0?d?r
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 各种学习资料，仅供学习与交流
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2.直线与圆相切 （1）知识要点
①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程
①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ．．．i）点在圆外
如定点P?x0,y0?，圆：?x?a???y?b??r，[?x0?a???y0?b??r]
222222第一步：设切线l方程y?y0?k?x?x0?
第二步：通过d?r?k，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！
如：过点P?1,1?作圆x?y?4x?6y?12?0的切线，求切线方程. 答案：3x?4y?1?0和x?1
22ii）点在圆上
1） 若点?x0，y0?在圆x2?y2?r2上，则切线方程为x0x?y0y?r2 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2） 若点?x0，y0?在圆?x?a???y?b??r上，则切线方程为
222?x0?a??x?a???y0?b??y?b??r2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.
③求切线长：利用基本图形，AP?CP?r?AP?求切点坐标：利用两个关系列出两个方程?3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 ．．．．
弦长公式：l?1?k2222CP?r2 2?AC?r
?kAC?kAP??1x1?x2?22?（暂作了解，无需掌握） 1?kx?x?????12?4x1x2??（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
（3）关于点的个数问题
2例：若圆?x?3???y?5??r上有且仅有两个点到直线4x?3y?2?0的距离为1，则半径r的取值范围是
22_________________. 答案：?4,6? 4.直线与圆相离
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会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题
1.若圆x2?y2?m2?1x?2my?m?0，关于直线x?y?1?0，则实数m的值为____. 答案：3（注意：m??1时，D?E?4F?0，故舍去）
变式：已知点A是圆C:x?y?ax?4y?5?0上任意一点，A点关于直线x?2y?1?0的对称点在圆C上，则实数
22??22a?_________.
2.圆?x?1???y?3??1关于直线x?y?0对称的曲线方程是________________.
变式：已知圆C1：?x?4???y?2??1与圆C2：?x?2???y?4??1关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.
3.圆?x?3???y?1??1关于点?2,3?对称的曲线方程是__________________.
4.已知直线l：y?x?b与圆C：x?y?1，问：是否存在实数b使自A?3,3?发出的光线被直线l反射后与圆C相切于
2222222222点B??247?,?？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由. 2525??六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x，y满足方程x?y?4x?1?0，求：
22y的最大值和最小值；——看作斜率 x?5（2）y?x的最小值；——截距（线性规划）
（1）
（3）x?y的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知?AOB中，OB?3，OA?4，AB?5，点P是?AOB内切圆上一点，求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可！
3.设P?x,y?为圆x??y?1??1上的任一点，欲使不等式x?y?c?0恒成立，则c的取值范围是____________. 答案：
2222c?2?1（数形结合和参数方程两种方法均可！）
七、圆的参数方程
?x?rcos??x?a?rcos?222，?为参数 ?x?a???y?b??r?r?0???，?为参数 x?y?r?r?0???y?rsin?y?b?rsin???222八、相关应用
221.若直线mx?2ny?4?0（m，n?R），始终平分圆x?y?4x?2y?4?0的周长，则m?n的取值范围是
______________.
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2.已知圆C：x?y?2x?4y?4?0，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.
2提示：x1x2?y1y2?0或弦长公式d?1?kx1?x2. 答案：x?y?1?0或x?y?4?0
223.已知圆C：?x?3???y?4??1，点A?0,1?，B?0,1?，设P点是圆C上的动点，d?PA?PB，求d的最值及对应的P点坐标.
4.已知圆C：?x?1???y?2??25，直线l：?2m?1?x??m?1?y?7m?4?0（m?R） （1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程. 5.若直线y??x?k与曲线x??1?y2恰有一个公共点，则k的取值范围.
6.已知圆x?y?x?6y?m?0与直线x?2y?3?0交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使
22222222OP?OQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
九、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（d为圆心距）
（1）d?r1?r2?外离 （2）d?r1?r2?外切 （3）r1?r2?d?r1?r2?相交 （4）d?r1?r2?内切 （5）d?r1?r2?内含 2.两圆公共弦所在直线方程
2222圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0，圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0，
则?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题
2222（1）过两圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0和C2：x?y?D2x?E2y?F2?0交点的圆系方程为
x2?y2?D1x?E1y?F1???x2?y2?D2x?E2y?F2??0（???1）
说明：1）上述圆系不包括C2；2）当???1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） （
2
）
过
直
线
Ax?By?C?0与圆
x2?y2?Dx?Ey?F?0交点的圆系方程为
x2?y2?Dx?Ey?F???Ax?By?C??0
（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题 各种学习资料，仅供学习与交流
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①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程
（1）定义法（圆的定义）：略
（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程. 例：过圆x?y?1外一点A?2,0?作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
22分析：OP?AP?OA
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
222? ?
动点 主动点
特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例1.如图，已知定点A?2,0?，点Q是圆x?y?1上的动点，?AOQ的平分线交AQ22于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程. 分析：角平分线定理和定比分点公式.
例2.已知圆O：x?y?9，点A?3,0?，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向排列，且?BAC?22?3，
求?ABC的重心G的轨迹方程. 法1：
?BAC??3，?BC为定长且等于33 xA?xB?xC3?xB?xC?x????333???33?33,? 设G?x,y?，则? 取BC的中点为xE???,?，yE?????24??y?yA?yB?yC?yB?yC?42??33?OE?CE?OC，?xE2?yE2?22294 （1）
3?2xExB?xC3x?3???x?x?x?????xB?xC?2xE?E??E322????，?? ??yB?yC?2yE?y?yB?yC?y?2yE?y?3yEE????23?2?22?3?2?3x?3??3?9?3?2?,1? 故由（1）得：????y????x?1??y?1x??0,?,y???22422????????法2：（参数法）
设B?3cos?,3sin??，由?BOC?2?BAC?2?，则 3各种学习资料，仅供学习与交流
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