第九节 函数模型及应用
课标要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 考情分析 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点． 2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力． 3．选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.
知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较
知识点二 几种常见的函数模型
(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢
后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
1．思考辨析
判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × ) (3)不存在x0，使ax0 (4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ ) 9 解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99元． 10∴每件赔1元，(1)错． (2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确． 11 (3)中，如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错． 24 2．小题热身 (1)函数模型y1＝0.25x，y2＝log2x＋1，y3＝1.002x，随着x的增大，增长速度的大小关系是y3>y1>y2. (2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均x 仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储 8800x 费用之和S表示为x的函数是S＝＋(x∈N*)． x8 (3)某物体一天中的温度T是关于时间t的函数，且T＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t＝0时表示中午12：00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是8_℃. (4)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到200只． (5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火M 1＋?.当燃料质量是火箭质量的e6箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln??m?－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 解析：(1)根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得． (2)由题意知，每件产品的生产准备费用是800x 的生产准备费用与仓储费用之和S＝＋. x8 (3)由题意知，上午8时即t＝－4，因此所求温度T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)． (4)由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)， 当x＝8时，y＝100log39＝200. M1＋?， (5)由题意可得12 000＝2 000ln??m? MMM 1＋?＝6，解得1＋＝e6，所以＝e6－1， 则ln??m?mm故填e6－1. x800 ×1?元，所以每件产品元，仓储费用是??8?x 考点一 一次函数、二次函数模型的应用 【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表1 示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． 2 (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及应用学案含解析.doc
