设t?2?2x，由x?[0,1]，可得t?[,1]，由存在x?[0,1]使得f(2x)?[f(x)]2， 可得存在t?[,1]，使得(a2?a)t?2a?0， ………………14分
令g(t)?(a2?a)t?2a?0，故有g()?(a2?a)?2a?0或g(1)?(a2?a)?2a?0， 可得?7?a?0．即所求a的取值范围是(?7,0)． ………………16分
3、记函数f(x)?f1(x)，f(f(x))?f2(x),它们定义域的交集为D,若对任意
14141414x?D,f2(x)?x，则称f(x)是集合M的元素.
（1）判断函数f(x)??x?1,g(x)?2x?1是否是M的元素；
x?1（2）设函数f(x)?loga(1?a)，求f(x)的反函数f(x)，并判断f(x)是否是M的元素；
（3）若f(x)?x，写出f(x)?M的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数． ．．．．．．．．．．．．．．．．（将根据写出的函数类型酌情给分） ．．．．．．．．．．．．．．解：
（1）∵对任意x?R，f(f(x))??(?x?1)?1?x，∴f(x)??x?1?M （2分）
∵g(g(x))?2(2x?1)?1?4x?3不恒等于x，∴g(x)?M……………… （4分）
x （2）设y?loga(1?a)
①a?1时，由0?1?a?1 解得：x?0,y?0
xx由y?loga(1?a) 解得其反函数为 y?loga(1?a)，(x?0) ……（6分）
x②0?a?1时，由0?1?a?1 解得：x?0,y?0
xx解得函数y?loga(1?a)的反函数为y?loga(1?a)，(x?0) ………（8分）
x∵f(f(x))?loga(1?aloga(1?ax))?loga(1?1?ax)?x
x∴f(x)?loga(1?a)?M …………………………（10分）
（3）f(x)?x，f(x)?M的条件是：
f(x)存在反函数f?1(x)，且f函数f(x)可以是：
?1(x)?f(x) ……………（13分）
f(x)??bx?ck(ab?0,ac??b2)； f(x)?(k?0)；
ax?bx21?ax(a?0,a?1)； f(x)?a?x(a?0,x?[0,a])； f(x)?loga1?axf(x)?sin(arccosx),(x?[0,1]或x?[?1,0])，f(x)?cos(arcsinx)；
f(x)?arcsin(cosx),(x?[0,]或x?[,?])，f(x)?arccos(sinx)．等
22以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下： 给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得5分．
?? 属于以上同一类型的两个函数得3分；
写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分； 函数定义域或条件错误扣1分．
二、总结与反思
三、课后作业
1、函数f(x)?x?sinx?1(x?R)，若f(a)?2，则f(?a)的值为 (C )．
3?A??2.
?B??1.
?C?0
.
?D?1.
．-1 f(?2)?___________答案：
2、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?log3(1?x)，则3、已知函数f(x)?log1(x2?6x?5)在(a,??)上是减函数，则a的取值范围是 .
2?x(x?0)24、设函数f(x)??,则不等式x?f(x)x?2?0的解集是 (??,1] 。
??x(x?0)15、已知函数f(x)?|1?|,若0?a?b，且f(a)?f(b)，则2a?b的最小值
x3为 ?2 26、设
f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f(1)?1，f(2)?2a?3，则a?1实数a的取值范围是 ．答案：a??1或a?2 32??x?2x?1(x?0)f(x)??2x?1?a(x?0)??7、函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为
a??12．
R的函数f(x)??8、设定义域为
x?0?|lgx|,,若关于x的方程2?x?2x,x?0?2f2(x)?2bf(x)?1?0有8个不同的实数根，则实数b的取值范围
3?b??2 29、设函数f(x)?a1?sin(x??1)?a2?sin(x??2)?...?an?sin(x??n)，其中ai、?i是 ．?（i?1,2,...,n，n?N,n?2）为已知实常数，x?R.下列关于函数f(x)的性质判断正确的命题的序号是 ①②③④ ．
①若f(0)?f()?0，则f(x)?0对任意实数x恒成立；
*?2②若f(0)?0，则函数f(x)为奇函数； ③若f()?0，则函数f(x)为偶函数；
?222④当f(0)?f()?0时，若f(x1)?f(x2)?0，则x1?x2?k?(k?Z).
?2?ax(x?1)?10、已知f(x)??是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为a?(4?)x?2(x?1)2?（ )B
A．?4,8?
B．?4,8?
C．?1,8?
D．?1,???
11、定义域和值域均为??a,a?（常数a?0）的函数y?f?x?和y?g?x?的图像如图所
示，给出下列四个命题：
（1）方程f?g?x???0有且仅有三个解； （2）方程g?f?x???0有且仅有三个解； （3）方程f?f?x???0有且仅有九个解； （4）方程g?g?x???0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是（ B ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
12、对于函数y?f(x)，x?D，若存在常数C，对任意x1?D，存在唯一的x2?D，使得
f(x1)f(x2)?C，则称函数f(x)在D上的几何平均数为C．已知f(x)?x2，
D?[2,4]，则函数f(x)在D上的几何平均数为………………………………………
（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
解析：若取x1、x2为区间[2,4]的两个`端点，则f(x1)f(x2)?8．若C?8，取
，
x1?2，
f(x1)?4，对任意
x2?[2,4]f(x2)?16，于是
f(x1)f(x2)?4f(x2)?8；若C?8，取x1?4，f(x1)?16，对任意
x2?[2,4]，f(x2)?4，于是
f(x1)f(x2)?16f(x2)?8．所以C?8．
13、已知函数f(x)?loga(1?x)?loga(1?x)(a?0且a?1) （1）讨论f(x)的奇偶性与单调性； （2）若不等式|f(x)|?2的解集为{x|?（3）设f(x)的反函数为f?111?x?},求a的值； 22?1(x)，若f(1)?1，解关于x的不等式3f?1(x)?m(m?R）.
1）???1?x?0,?f(x)定义域为x?(?1,1);f(x)为奇函数；
?1?x?01?x， 1?x?f(x)?log2①当a?1时，在定义域内为增函数；[来源:学+科+网] ②当0?a?1时，在定义域内为减函数；
（2）①当a?1时，∵f(x)在定义域内为增函数且为奇函数，
1?命题?f()?1,得loga3?2,?a?3；
2②当0?a?1时,?f(x)在定义域内为减函数且为奇函数， 113?命题?f(?)?1,得loga?2,?a?；
233 （3）（理）?y?loga1?x1?x?ay??ay?1?x(ay?1) 1?x1?xay?1ax?111a?1?1?1?x?y,?f(x)?x(x?R）?a?2, ；Qf(1)?,??a?1a?133a?12x?1?f(x)?x?m，?2x(1?m)?1?m；
2?1①当m?1时，不等式解集为x?R；[来源:学科网ZXXK]
?1②当?1?m?1时，得2x?③当m??1,x??
1?m1?m，不等式的解集为{x|x?log2}； 1?m1?m
14、已知函数f(x)?loga2m?1?mx(a?0，a?1)是奇函数，定义域为区间D(使表达
x?1式有意义的实数x 的集合)．
(1)求实数m的值，并写出区间D；
(2)若底数a?1，试判断函数y?f(x)在定义域D内的单调性，并说明理由；
(3)当x?A?[a，b)(A?D，a是底数)时，函数值组成的集合为[1，??)，求实数
?a、b的值．
解 (1) ∵y?f(x)是奇函数，
∴
对
任
意
x?D，有f(x)?f(?x)?0，即
loga2m?1?mx2m?1?mx?loga?0．2分
1?x1?x222 化简此式，得(m?1)x?(2m?1)?1?0．又此方程有无穷多解(D是区间)，
2?1?x?m?1?0必有?，解得m?1． 4分 ∴f(x)?loga，D?(?11)，． 521?x??(2m?1)?1?0分
(2) 当a?1时，函数f(x)?loga理由：令t?1?x在D?(?11)，上是单调减函数． 1?x1?x2． ??1?1?x1?x2在D?(?11)，上是随x增大而1?x易知1?x在D?(?11)，上是随x增大而增大，
减小，6分 故t?1?x2在D?(?11)，上是随x增大而减小． 8分 ??1?1?x1?x1?x在D?(?11)，上是单调减函数． 10分 1?x 于是，当a?1时，函数f(x)?loga(3) ∵A?[a，b)?D，∴0?a?1，a?b?1． 11分
?∴依据(2)的道理，当0?a?1时，函数f(x)?loga12分
即f(a)?1，loga1?x在A上是增函数， 1?x1?a?1，解得a?2?1(舍去a??2?1)． 14分 1?a
函数综合复习(适合上海高考)
