4.5.3 函数模型的应用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1 指数函数与对数函数模型 指数函数模型 对数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 知识点2 解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3 拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题． 2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A．a(1＋n%)13 C．a(1＋n%)11
B．a(1＋n%)12 D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020年的产值为a(1＋n%)12.
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝__2ln 2__，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为__1 024__.
1
1
[解析] 由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝e2 k，
2
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2. 当t＝2时，y＝e2
×5×ln 2
＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__300__只．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alog2(1＋1)， 所以a＝100，
所以y＝100log2(x＋1)，
所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x y 现有如下5个模拟函数： 1
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝()x＋1.74.
2请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__④__(填序号)． [解析] 画出散点图如图所示：
1.99 0.99 3 1.58 4 2.01 5.1 2.35 8 3.00
由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数模型的应用
例1 2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1‰，用英
国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
[解析] 由2011年世界人口数据，把y0＝70，r＝0.002 1代入马尔萨斯人口模型，得y＝
70e0.002 1t.
解不等式y＝70e0.002 1t≥140得t≥
ln2
≈330. 0.002 1
所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口达到140亿． [归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】? 目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． [解析] (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； ……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)． (2)当x＝10时，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7， 故10年后该县人口总数约有112.7万人． (3)设x年后该县人口总数将达到120万人， 即y＝100(1＋1.2%)x＝120， 120
解得x＝log1.012≈16.
100
故大约16年后该县的人口总数将达到120万人． 题型二 对数函数模型的应用
例2 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现
1x
候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟
2100耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2＝0.30,31.2＝3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min? (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析] (1)将x0，x代入解析式求速度． (2)利用候鸟休息的速度为0解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商． [解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8 100， 18 100
得v＝log3－lg 2＝1.7，
2100故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
1x
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝log3－lg 5，
2100x
即log3＝2lg 5，解得：x＝466，
100
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
?由题意得：?1x
1.5＝log?2100－lg x，
3
2
0
1x1
2.5＝log3－lg x0，
2100
1x1x1
两式相减可得1＝log3，解得：＝9，
2x2x2
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． [归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.5.3 函数模型的应用 (含解析)
