写在教学前面的话——高等数学学习建议
1、首先，要花点时间全面浏览一下教材，了解一下高等数学这门课程主要有哪几块内容组成，每一块主要讲些什么东西。你们不是初学者，相信对高等数学不会十分陌生，即便是有些内容没有学过
2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处理等等。断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦和问题会越积越多；
3、围绕重点多做习题。数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧的目的；
4、对一些暂时搞不清的问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不懂，少量的题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到后面了回过头来，你会什么都明白了；
5、还有一点，你要善于总结（思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？主要的公式定理？主要的计算方法等等。
微积分章节授课次序：
1、 第一章 函数、极限与连续 2、 第九章 无穷级数 3、 第二章 导数与微分 4、 第三章 导数的应用
5、 第六章 多元函数微分学 6、 第四章 不定积分 7、 第八章 微分方程 8、 第五章 定积分及其应用 9、 第七章 二重积分
第一章 函数、极限和连续
第一节 函数
一、 函数的概念
1、函数的概念：y?f(x),x?D （1）函数两要素：D和f
（2）判断两个函数是否为同一个函数的方法：只要两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。 2、单值函数和多值函数 单值函数的特点：一一对应 3、显函数和隐函数
（1）形如y?f(x)的函数称为显函数。
（2）由方程F(x,y)?0所确定的函数y?y(x)称为一个隐函数。有些微分方程的通解就是隐函数。
（3）隐函数有的可以显化，如x2?y2?1?y??1?x2（多值函数）
而有些隐函数不能显化，如x2?y?2siny?1
4、分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表达式表示，而是要用两个或者两个以上的表达式表示。这样的函数称为分段函数。
5、函数的定义域通常是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的
定义域时，一般要注意： （1）如果
1，要求f(x)?0 f(x)（2）如果2nf(x)（n为正整数），要求f(x)?0 （3）如果logaf(x)(a?0且a?1)，要求f(x)?0 （4）如果arcsinf(x)和arccosf(x)，要求f(x)?1
（5）分段函数的定义域：是将分段函数所有的取值区间做并集。 6、函数的表示法：表示函数通常用公式法辅之以图示法（数形结合）。
例题精讲(P4-P5)
1、求下列函数的定义域：
（1）y?9?x2?log2(x?1)（历年真题） （2）y?4?x2?ln(x?1)（历年真题）
arcsin2x?17
x2?x?61?x 1?x（3） y?（4）y?arccos(1?x)?ln二、 函数的几种常见性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性） 1、有界性
（1）有上界：y?f(x)(x?I)满足f(x)?M（存在常数M）上不去 （2）有下界：y?f(x)(x?I)满足f(x)?m（存在常数m）下不来 （3）有界: y?f(x)(x?I)满足f(x)?M（存在正常数M）
事实上：f(x)?M??M?f(x)?M，有界即既有上界又有下界。从图像上观察，有界函数的图形会被两条平行于x轴的直线夹在中间。 （4）无界
（5）常用有界函数：sinx?1 ， cosx?1 ，sinf(x)?1 ， cosf(x)?1 arctanx?2、单调性 （1）概念
（2）讨论函数的单调性和有界性都不能离开函数的定义区间。 3、奇偶性
（1）概念：注意奇偶函数的定义域须关于原点对称 （2）判断奇函数的方法：f(?x)??f(x)或者f(?x)?f(x)?0 （3）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶
奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇
（4）非奇非偶函数，即对于函数f(x)，存在x1,x2?D，有f(?x1)?f(x1)且
f(?x2)??f(x2)
?2 ， 0?arccotx??
4、周期性 （1）概念
（2）sinx、cosx的最小正周期都是2?，tanx、cotx的最小正周期都是?。 y?sin(?x??)、y?cos(?x??)的最小正周期都是
2??
例题精讲
2、函数y?log2x区间在（ ）有界（历年真题）
A．（0,1）??B.（0，??） C. （1，??） D．（1,2） 3、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)?ln(1?x2?x) （2）f(x)?(2?3)x?(2?3)x
ax?1（3）f(x)?xln(1?x?x) （4）f(x)?xx(a?0)
a?1224、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期。 （1）y?sin2x （2）y?sinx?cos （3）y?3cos(?x?2) 三、反函数 （1）概念
（2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。 （3）原函数和反函数的图形关于直线y?x对称。 （4）反函数的求法。
x2例题精讲
?ex，x?0?x?0 的反函数并指出其定义域。 5、求函数y??0，??(x2?1)，x?0?四、基本初等函数
（1）要求熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的表达式、定义域、值域、图像（要记忆）及4种性态。（P9-P11） （2）常见的幂函数图形：y?x、y?x2、y?x3、y?x?1、y?x、y?3x。 （3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数sinx、cosx、tanx、cotx的图形。 （4）掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。根据图形记忆： （5）掌握三角函数的常用公式。 五、复合函数 （1）概念 （2）会求复合函数
（2）能正确分析复合函数复合过程（前提：熟练掌握各基本初等函数的表达式） 六、初等函数 （1）概念
秋专升本高等数学电子教案
