线段的垂直平分线与角平分线
知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：
CmAD图1B到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 课堂笔记：
3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
CmAD图2B三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点
iAkOBj图3CO，且OA＝OB＝OC.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：
例1 如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
课堂笔记：
例2、 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。 课堂笔记：
针对性练习：
1. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。
A
例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高， 且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD. 证明： 课堂笔记：
B图8DC
课堂练习：
1.如图，AC=AD，BC=BD，则（ ） A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分∠ACB D.以上结论均不对
2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
5.已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC， 求证：AO⊥BC.
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线 MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.
线段的垂直平分线与角平分线(2)
知识要点详解 4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角D的两边的距离相等.
定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何O图4作图问题；
角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 课堂笔记：
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，B且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOBD的平分线上.
P定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线
是一个角的角平分线 图5AOC注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联
A系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理： FBEFCA三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. RIQE定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
图6PDBC① AP、BQ、CR相交于一点I；
② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 课堂笔记：
经典例题：
例1、 已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF 课堂笔记：
FBP
AEC
针对性练习：
1、已知： BE、CE分别是△ABC∠ABC和外角∠ACD平分线，它们交于E，
0
∠BEC=35，求∠CAE的度数？
2、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
3、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。 (!)求证：BF=AC；
1 (2)求证：CE=BF；
2 (3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。
中垂线和角平分线
