2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义
目 录
1. 第一讲：与三角形有关的线段； 2. 第二讲：与三角形有关的角； 3. 第三讲：与三角形有关的角度求和； 4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)； 5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)； 6. 第六讲：全等三角形；
7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；
8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS； 9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL； 10. 第十讲：专题三：全等三角形题型训练； 11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练； 12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理； 13. 第十三讲：轴对称； 14. 第十四讲：等腰三角形； 15. 第十五讲：等腰直角三角形； 16. 第十六讲：等边三角形（一）； 17. 第十七讲：等边三角形（二）;
18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一） 19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二） 20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；
第 一 讲 与三角形有关的线段
【知识要点】 一、三角形
1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）
ABC?不等边三角形??三角形? ?腰底不相等的等腰三角形等腰三角形????腰底相等的等腰三角形?等边三角形??三、三角形的三边关系(教具)
引例：已知平面上有A、B、C三点.根据下列线段的长度判断A、B、C存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A、B、C存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A、B、C存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A、B、C存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A、B、C存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A、B、C存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.
三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.
【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a，AC=b，AB=c.
（1）A、B、C三点在同一条直线上，则a，b，c满足：； （2）若构成△ABC，则a，b，c满足：； 2．已知BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c.
（1）A、B、C三点在同一条直线上，则a，b，c满足：； （2）若构成△ABC，则a，b，c满足：； 【新知讲授】
例一、如图，在△ABC中.
1①AD为△ABC的中线，则线段==；
2A②AE为△ABC的角平分线，则==
1； 2③AF为△ABC的高线，则==90°； ④以AD为边的三角形有；
⑤∠AEC是的一个内角；是的一个外角.
BFEDC例二、已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，
则△ABC的BC边上的高线是线段( ).
(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( ). ．
(A)7cm，5cm，12cm (B)6cm，8cm，15cm
GFEBCAD(C)4cm，6cm，5cm (D)8cm，4cm，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能组成三角形的是.（a、b、c均为正数） ．．
①a=5，b=9，c=7； ②a∶b∶c=2∶3∶5； ③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a＜b＜c，其中a+b＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x的取值范围是.
发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x的取值范围是. ②已知三角形的三边长分别为2，5，
2?4x，则x的取值范围是. 3
(D)13
③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3
(C)5
④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长?的取值范围是.
⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长?的取值范围是.
(A)3b＜?＜3a (B)2a＜?＜2a+2b (C)a+2b＜?＜2a+b (D)a+2b＜?＜3a-b
例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x，3x-1.
（1）则x的取值范围是； （2）则它的周长?的取值范围是； （3）若它是一个等腰三角形，则x的值是.
发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x，x-1，则x的取值范围是.
②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.
③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a的取值范围是；周长?的取值范围是. ④已知三角形三边的长a、b、c是三个连续正整数，则它的周长?的取值范围是.若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.
⑤若a 、b、c是△ABC的三边长，化简|a?b?c|+|a?b?c|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)2a?2c ⑥已知在△ABC中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC的周长?的取值范围为. 【题型训练】
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).
(A)2cm，3cm，5cm (B)5cm，6cm，10cm (C)1cm，1cm，3cm (D)3cm，4cm，9cm 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).
(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x，则x的取值范围是( ).
(A)2＜x＜12 (B)1＜x＜13 (C)6＜x＜7 (D)1＜x＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长?的取值范围是( ).
（A）6＜?＜15 （B）6＜?＜16 （C）11＜?＜13 （D）10＜?＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).
（A）21 （B）27 （C）32 （D）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a的范围为. 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a的范围为.
9．等腰三角形的周长为8，则腰长a的范围为；底边长b的范围为. 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长?的范围为. 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a的范围为. 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为.
13．若a、b、c分别为△ABC的三边长，则｜a+b-c｜-｜b-c-a｜+｜c-b-a｜=.
14．已知在ΔABC中，AB=AC，它的周长为16厘米，AC边上的中线BD把?ABC分成周长之
差为4厘米的两个三角形，求?ABC各边的长.
15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线）把它的周
长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.
BC
综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系
1．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系； 2．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系；
3．如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I，探求∠I与∠A的关系. ADAADBCBDC
AAIICBCD B
例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD、∠ACD的平分线交于点I，探索∠I与∠A、∠D之间的数量关系.
B
AIAIADIDCBCBDC发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I，
探索∠I与∠A、∠D之间的数量关系. AA IADI
BDBCEIECEBDC发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I，
探索∠I与∠A、∠D之间的数量关系.
AAA
D
DBC
D BBCE
FC EEFIF II第 二 讲 与三角形有关的角
【知识要点】
一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：
B12AC
2017年七升八暑期衔接班数学讲义（word版）
