平行线分线段成比例
知识梳理
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果l1∥l2∥l3，则
BCEFABDEABAC，，. ???ACDFACDFDEDFABCDEFl1l2l3
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE∥BC，则
AEEA
ADAEDE ??ABACBCDDBCBC
3. 平行的判定定理：如上图，如果有
ADAEDE，那么DE∥ BC。 ??ABACBC专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图，DE∥BC，且DB?AE,若AB?5，AC?10，求AE的长。
ADEB
1
C
【例2】 如图，已知AB//EF//CD，若AB?a，CD?b，EF?c，求证：??.
ACEFD
1c1a1bB
【巩固】如图，AB?BD，CD?BD，垂足分别为B、D，AC和
BD相交于点E，EF?BD，垂足为F.证明：
111. ??ABCDEFCAEBFD
【巩固】如图，找出S?ABD、S?BED、S?BCD之间的关系，并证明你的结论.
CEFD
AB
【例3】 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， AB?12，CD?9，过对角线交点O作
EF∥CD交AD，BC于E，F，求EF的长。
DEOCFAB
2
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?a，BC?b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长。
EAPDQBFC
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在?ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE?AB， 连接EM并延长，交BC的延长线于D，则
BC
?_______. CD
14（2）如图（2），已知?ABC中，AE:EB?1:3，BD:DC?2:1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.2
AEMEFAF? FCFD5232AEFBD(2)C
B(1)CD【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在?ABC中，D为BC边的中点，E为 AC边上的任意一点，BE交AD于点O.
AE1AO（1）当的值； ?时，求
AC2ADAE11AO（2）当的值； ?、时，求
AC34AD
AEO（3）试猜想
AE1AO时的值，并证明你的猜想. ?ACn?1ADBDC3
【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD是?ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.
（1）如果E是AD的中点，求证：
AF1?； FC2AF1AE成立，若E是AD上任意一点（E与A、D ??FC2EDA（2）由（1）知，当E是AD中点时，
不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
FEBDC
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知?ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE?AC，延长BE交AC于F。求证：AF?EF。
AFEBDC
【例7】 （宁德市中考题）如图，?ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E， 延长AB交CE的延长线于P。若AD?2DE，求证:AP?3AB。
ABDPEC
4
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ?ABC中，BC?a，若D1，E1分 别是AB，AC的中点，则D1E1?a；
?若D2、E2分别是D1B、E1C的中点，则D2E2????a??a； 2?2?413?7若D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3??a?a???a；
2?4?8D1D2D3DnBE1E2E3EnC12A1a3…………
若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点，则DnEn?_________.
专题三、利用平行线转化比例 【例8】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且 与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P. 求证：PM?PN?PR?PS
ABDlRSOCNPM
【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD∥EF， AC的延长线交EF于G．求证：EG?GF．
ABCEDGF
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平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含答案）教材
