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【专题四】函数与方程思想
【考情分析】
观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测20XX年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。 【知识归纳】
函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题；
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；
3．函数的思想与方程的思想的关系
在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决．对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝
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0，也可以把函数y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。
4．函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；
（4）函数f(x)＝(ax?b)（n∈N）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用
*
n赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；
（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【考点例析】
题型1：函数思想在方程中应用
例1．（2012高考山东）设函数f(x)?1,g(x)?ax2?bx(a,b?R,a?0)，若y?f(x)x的图象与y?g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是（ ）
A．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0C．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0B．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0
D．当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0
【答案】B； 【解析】：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当a?0时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(?x1,?y1)，由图象知?x1?x2,?y1?y2,即x1?x2?0,y1?y2?0，同理当a?0时，则有x1?x2?0,y1?y2?0，故答案选B。
另法：F(x)?x3?bx2?1，则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解，故其有
2且仅有两个不同零点x1,x2.由F?(x)?0得x?0或x?b.这样，必须且只须F(0)?0或
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2232因为F(0)?1，故必有F(b)?0由此得b?32.不妨设x1?x2，则x2?b?32.F(b)?0，
3323所以F(x)?(x?x1)(x?32)2，比较系数得?x134?1，故x1??知y1?y2?11x1?x2???0，故答案为B。 x1x2x1x21312.x1?x2?32?0，由此22题型2：函数思想在不等式中的应用
例2．（2012高考浙江）设a大于0，b大于0.
A．若2+2a=2+3b，则a＞b B．若2+2a=2+3b，则a＞b C．若2-2a=23b，则a＞b D．若2-2a=a-3b，则a＜b 【答案】A；
b【解析】若2a?2a?2b?3b，必有2a?2a?2?2b．构造函数：f?x??2x?2x，则
a
b-a
b
a
b
a
b
f??x??2x?ln2?2?恒成立，故有函数0f?x??2x?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其
余选项用同样方法排除．故选A。
点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决。
题型3：函数思想在实际问题中的应用 例3．（2011陕西理14) ．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．
【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题； 【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），
1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是：
s?(i?1)?10?(i?2)?10??(i?i)?10?[(i?1)?i]?10??(20?i)?10?10?[i?i?i(i?1)(20?i)(i?1?20)?i?(20?i)?]?10(i2?21i?210)。 22所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。
（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10?(1?2??19)?2?10?19(1?19)?2?3800；树苗放在第210个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是：
10?(1?2??9)?10?(1?2??10)?2学习必备 欢迎下载
?10?9?(1?9)10?(1?10)?2?10??2?900?1100?2000， 22所以路程总和最小为2000米.
点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。
题型4：函数思想在数列中的应用
例4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3?12，S12>0，S13<0， （1）求公差d的取值范围；
（2）指出S1、S2、S3…，S12中哪一个最大，并说明理由。 解析：（1）由a3?12得：a1?12?2d，
∵S12＝12a1?44d?144?42d>0，S13＝13a1?78d?156?52d<0， ∴?24 2451213 ∵?点评：数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。 题型5：函数思想在立体几何中的应用 例5．（1）（2012高考江西）如右图，已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记 SE?x(0?x?1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y?V(x)的图像大致为（ ） 学习必备 欢迎下载 【答案】A； 【解析】：（定性法）当0?x?且递减的速度越来越快；当 1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，21?x?1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，2且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A。 【点评】对于函数图象的识别问题，若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间。 （2）已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1，表面积为的最值。 解析：设三条棱长分别为x，y，z，则长方体的体积V＝xyz。 由题设有：x?y?z?1，2(xy?yz?zx)?16，求长方体的体积2716； 2788?(xy?zx)??x?x2， 2727832 故体积V（x）?xyz?x?x?x， 27 所以yz? 下面求x的取值范围。因为y?z?1?x，yz? 所以y、z是方程t?(1?x)t? 由??0，得28?x?x2， 278?x?x2?0的两个实根。 2715?x?， 998242?3(x?)(x?) 因为V'(x)?3x?2x?9927416220 所以当x?时，V(x)min?；当x?时，V(x)max?。 97299729点评：解决本题的关键在于确定目标函数时，根据相关条件的特征，构造了二次方程，并由此得出定义域使问题得解。 题型6：利用方程思想处理解析几何问题 例6．（1）直线(1?a)x?y?1?0与圆x?y?2x?0相切，则a的值为（ ） 22
高三数学二轮复习函数与方程思想精品教学案
