证明过程或演算步骤)
－23＋i?2?2 018
?17．(本小题满分10分)计算＋?＋
1＋23i?1＋i?（4－8i）2－（－4＋8i）2
11－7i
i（1＋23i）??2?2?1 009
??解：原式＝＋??＋ 1＋i1＋23i????16－64i＋64i2－（16－64i＋64i2）
＝
11－7ii＋(－i)1 009＋0＝0.
18．(本小题满分12分)实数m分别取什么数值时，复数z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i：
(1)与复数2－12i相等？
(2)与复数12＋16i互为共轭复数？ (3)在复平面内对应的点在x轴上方？ 解：(1)根据复数相等的充要条件得
2??m＋5m＋6＝2，?2解得m＝－1. ?m－2m－15＝－12，?
即m＝－1时，复数z与复数2－12i相等． (2)复数12＋16i的共轭复数为12－16i，
2
??m＋5m＋6＝12，
由题意得?2
?m－2m－15＝－16，?2
??m＋5m－6＝0，即?2解得m＝1. ?m－2m＋1＝0，?
故当m＝1时，复数z与复数12＋16i互为共轭复数．
(3)复数z＝m2＋5m＋6＋(m2－2m－15)i在复平面内对应的点位于x轴上方，则m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.
所以m<－3或m>5时，复数z在复平面内对应的x轴上方． （1＋i）2＋2（5－i）
19．(本小题满分12分)已知复数z＝.
3＋i(1)求|z|；
(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．
2i＋10－2i1010（3－i）
解：(1)因为z＝＝＝＝3－i，
103＋i3＋i所以|z|＝10.
(2)因为(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)2＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，
???8＋3a＝b，?a＝－7，
所以???
??－（a＋6）＝1，b＝－13.??
1
20．(本小题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z＋2z＋<0，求z.
z
2
解：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，由题意得x2＋y2＝1， 112
则z＋2z＋＝(x＋yi)＋2(x＋yi)＋＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋
zx＋yi
2
1)i.
1
因为y≠0，z2＋2z＋<0，
z
??2x＋1＝0，1?所以22解得x＝－.
2??x－y＋3x<0，
13
将x＝－代入x2＋y2＝1，得y＝±.
2213
所以z＝－±i.
22
15－5i
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，求：
（2＋i）2(1)z1·z2.
(2)若z∈C，且|z－z1|＝1，求|z－z2|的最大值．
15－5i（15－5i）（3－4i）15－5i
解：(1)因为z2＝＝＝＝
3＋4i（3＋4i）（3－4i）（2＋i）2
25－75i
＝1－3i，所以z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. 25
(2)由|z－z1|＝1知，z在以(2，－3)为圆心，以1为半径的圆上，如图：z2在复平面内对应的点为B(1，－3)，
所以当z对应的点为A(3，－3)时，|z－z2|的最大值为2.
→，OZ→分别22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量OZ12
32
对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.
a＋51－a→·OZ→的值． 若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求OZ12
解：由题意，得z1＝
—
—
—
3
－(10－a2)i， a＋5
?32?322
则z1＋z2＝－(10－a)i＋＋(2a－5)i＝?a＋5＋1－a?＋(a2
a＋51－a??
＋2a－15)i.
因为z1＋z2可以与任意实数比较大小， 所以z1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又因为a＋5≠0，所以a＝3. 3
所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
8
?3?→→＝(－1，1)． ?所以OZ1＝8，1?，OZ2
?
?
——
35→→所以OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝. 88
2019秋 金版学案 数学·选修2-2（人教A版）练习：评估验收卷（三） Word版含解析
