理科数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合A?(x,y)x,y?R,x?y?1，B?(x,y)x,y?R,x?y?元素个数为（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
?22??2，则A?B的
?2．已知复数z满足?1?i?z?3?i，i为虚数单位，则z等于（ ）
C．
A．1?i B．1?i
11?i 22D．
11?i 223. 已知等差数列?an?的公差为d,前n项和为Sn,则“d?0”是\S4+S6?2S5\的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg2?0.3010，lg3?0.4771） A．2024
B．2024
C．2024
D．2013
5．已知函数f(x)?的值分别为( )
1?（??0,??）的部分图象如图所示，则?,?2sin(?x??)A．2, ? 3B．2, ?? 3?C．1,
6?D．1, ?
6?exx?06．已知函数f?x???2，若函数g?x??f?x??kx恰好有两个零点，则实
??x?2x?1x?0数k等于（e为自然对数的底数）（ ） A．1
B．2
C．e
D．2e
k7．已知函数f?x??(x?a)，角A，B，C为锐角ABC的三个内角，则( )
- 1 -
A．当k?1，a?2时，f?sinA??f?cosB? B．当k?1，a?2时，f?cosA??f?sinB? C．当k?2，a?1时，f?sinA??f?cosB? D．当k?2，a?1时，f?cosA??f?sinB?
128．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AE=AB，BF=BC，如果
23，那么m?n的值为（ ） EF=mAB+nAC（m，n为实数）
A．?1 2B．0 C．
1 2D．1
9．已知正项等比数列?an?（n?N*）满足a7?a6?2a5，若存在两项am， an使得
aman?4a1，则
15?的最小值为（ ） mn5 3A．2 B．1?C．
7 4D．
11 410．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在
我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的
三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列?an?，若数列
?an?的前n项和为Sn，则S47?（ ）
A．265
B．521
C．1034
D．2059
?11．已知数列{an} 中，a1?2,n(an?1?an)?an?1,n?N ，若对于任意的
a???2,2?,n?N*，不等式
an?1?2t2?at?1恒成立，则实数t的取值范围为（ ） n?1B．???,?2?2,???
A．???,?2?1,??? ????
- 2 -
C．???,?1?2,??? ??D．?2,2
??x?1? x?0?e 212．已知函数f(x)??2，若方程f?x??bf?x??2?0有8个相异实根，
???x?2x?1x?0则实数b的取值范围（ ） A．??4,?2?
B．(?4,?22)
C．??3,?2?
D．(?3,?22)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若C?120，a?则AB边上的高的长度为______.
3，b?23，?x?y?0?14．若x，y满足约束条件?2x?y?6?0，则z?3x?2y的最大值是________．
?x?y?2?0?15．在?ABC中，AB?________.
?3cosx,cosx,AC??cosx,sinx?，则?ABC面积的最大值是
??ex?1x?116．已知函数f(x)??，把函数y?f(x)的图象与直线y?x交点的横
?f(x?2)?2x?1坐标按从小到大的顺序排成一个数列?an?，则数列?an?的前n项Sn?________. 三、解答题
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?1?Sn?（1）证明：数列{n?1·an(n?N*)，且a1?13n.
an}是等比数列； n（2）求数列{an}的前n项和Sn.
18．（12分）为初步了解学生家长对艺术素质评价的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：
- 3 -
得分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) ?90,100? 3 2 男性人数 女性人数 4 1 9 2 12 2 13 21 11 10 6 4 将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类.
（1）完成2?2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？
（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.
P?2?x0 ??0.010 0.005 0.001 x0 6.635 7.879 10.828 附：??2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，?n?a?b?c?d?.
19．（12分）如图四棱锥P?ABCD，底面ABCD是等腰梯形，
CD//AB，AC平分?BAD且AC?BC，PC?平面ABCD，平面PAB与平面ABCD所成角为60°．
（1）求证：PA?BC．
（2）求二面角D?PA?C的余弦值．
x2y220．（12分）已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的右焦点为Fab?3,0,过F的直线l与C
?
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交于A,B两点.当l与x轴垂直时，线段AB长度为1. O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若对任意的直线l，点M?m,0?总满足?OMA??OMB，求实数m的值. （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求?MAB面积的最大值.
21．（12分）已知函数f(x)?alnx?1，a?R. x（1）当a?1时，求曲线f?x?在点1,f?1?处的切线方程； （2）求函数f?x?的极值；
??（3）若y?f?x?在x?1时取得极值，设g(x)?f(x)?1，当0?x1?x2时，试比较xg(x2)?g(x1)x2?x1与大小，并说明理由. x2?x12
选做题
?2x??2?t??2(t为参数），点22.（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??y??4?2t?2?M(?2,?4)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方
程为?sin2??2acos??0(a?0)．
（1）当a?1时，求曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于点A，B，若|AB|2?|MA||MB|，求a的值．
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四川省南充市实验中学2024届高三上学期期中考试理数试题
