v1.0 可编辑可修改 高数积分总结
一、不定积分
1、不定积分的概念也性质
定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一x?I,都有
F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。 定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作
?f(x)dx。
性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx。
性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则
?kf(x)dx?k?f(x)dx。
2、换元积分法 (1)第一类换元法：
定理1：设f(u)具有原函数，???(x)可导，则有换元公式
?f[?(x)]?'(x)dx?[?f(?)d?]??
1
?(x)。
v1.0 可编辑可修改 例：求?2cos2xdx
解 ?2cos2xdx??cos2x?2dx??cos2x?(2x)'dx??cos?d? 将??2x代入，既得
?2cos2xdx?sin2x?C
(2)第二类换元法：
定理2：设x??(t)是单调的、可导的函数，并且?'(t)?0.又设
f[?(t)]?'(t)具有原函数，则有换元公式
?f(x)dx?[?f[?(t)]?'(t)dt]?1其中?(x)是x??(t)的反函数。
t???1(x),
例：求?dxx?a22(a?0)
22解 ∵1?tant?sect，
????x??tant??t???，那么 设
2??2x2?a2?a2?a2tan2t?a1?tan2t?asect,dx?asec2tdt，
于是
?asec2t??dt??sectdt 22asectx?adxdxx?a22∴?∵sect?∴?2
?lnsect?tant?C
x2?a2，且sect?tant?0 a???C?ln(x?x2?a2)?C，C?C?lna 11??22?xx?a?ln???aax2?a2?dxv1.0 可编辑可修改 3、分部积分法
定义：设函数???(x)及???(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为
????'??'????'
移项得 ??'?(??)'??'? 对这个等式两边求不定积分，得
???'dx??????'?dx
此公式为分部积分公式。 例：求xcosxdx
解 ?xcosxdx?xsinx??sinxdx
∴xcosxdx?xsinx?cosx?C 分部积分的顺序：反对幂三指。 4、有理函数的积分 例：求?x?1dx 2x?5x?6??2x解 ∵?5x?6?(x?3)(x?2)，故设
x?1AB?? 2x?5x?6x?3x?2其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得
x?1?A(x?2)?B(x?3)
即 x?1?(A?B)x?2A?3B 比较上式两端同次幂的系数，既有
3
v1.0 可编辑可修改 ?A?B?1 ?2A?3B??1?从而解得 A?4,B??3 于是
x?13??4??dx?4lnx?3?3lnx?2?C ?x2?5x?6dx????x?3x?2?其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询 二、定积分
1、定积分的定义和性质
（1）定义：设函数f(x)在?a,b?上有界，在?a,b?中任意插入若干个分点
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b
把区间?a,b?分成n个小区间
?x0,x1?,?x1,x2?,?,?xn?1,xn?
各个小区间的长度依次为
?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1
在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i?xi?1??i?xi?，作函数值f(?i)与小区间长度?xi的乘积f(?i)?xi?i?1,2,?,n?，并作出和
S??f(?i)?xi
i?1n记??max??x1,?x2,?,?xn?，如果不论对?a,b?怎么划分，也不论在小区间?xi?1,xi?上点?i怎么选取，只要当??0时，和S总趋于确定
4
v1.0 可编辑可修改 的极限I，那么称这个极限I为函数(简称积分)，记作
f(x)在区间?a,b?上的定积分
?baf(x)dx，即
n?其中变量，
baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi
??0i?1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分
a叫做积分下限，b叫做积分上限，?a,b?叫做积分区间。
f(x)在区间?a,b?上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上可积。 定理2：设
在?a,b?上可积。 （2）性质1： 性质2：
??f(x)?g(x)?dx??abbaf(x)dx??g(x)dx
ab?bakf(x)dx?k?f(x)dx (k是常数)
ab 性质3：设a?c?b，则
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
accb 性质4：如果在区间?a,b?上f(x)?1，则
?1dx??abbadx?b?a
性质5：如果在区间?a,b?上，f(x)?0，则
??5
babaf(x)dx?0?a?b?
推论1：如果在区间?a,b?上，f(x)?g(x)，则
f(x)dx??g(x)dx?a?b?
ab
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