习题
3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动，其中有一恒力F=，求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。
解：?r?rB?rA??20i?20j
由做功的定义可知：W?F??r?0.6i?(?20i?20j)??12J
3-2. 质量为m=的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t,y=(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少
2
?r?r4?r2?(80i?0.5j)?(20i?0.5j)?60i a ?dv/dt?d2r/dt2?10i F?ma ?m?10i?5i
由做功的定义可知：W?F??r?5i?60i?300J
3-3.劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开始时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。
根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为F=mg，k?x?mg 可得此时弹簧的伸长量为：?x??xmg kmgk0由做功的定义可知：W?
?01kxdx?kx22m2g2?
2k3-4.如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力数值为N，求质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。
分析：Wf直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情况。
v211解：求在B点的速度： N-G=m 可得：mv2?(N?G)R
R22mgR?Wf? 由动能定理：
12mv?02Wf?
11(N?G)R?mgR?(N?3mg)R22
3-5.一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为
F?(?52.8x?38.4x2)i，其中F和x单位分别为N和m．
（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功；
（2）此弹力是否为保守力 解：
（1）由做功的定义可知：
W??x2x1F?dx??1.340.522(?52.8x?38.4x2)dx??26.4(x2?x1)?12.6(x2?x1)2233?69.2J（2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该弹力为保守力。
3-6. 一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。
解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：
2v??F1111t??(ati?bt2j)dt?(at2i?bt3j) mmm2311213111(ati?btj)?(a2t3?b2t5) m23m23所以功率为：
N?F?V?(ati?bt2j)?
3-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为
Ep??ax2?bxy?cz.
（1）求作用力F；
（2）当质点由原点运动到x?3、y?3、z?3位置的过程中，试任选一路径，计算上述力所做的功。其中Ep的单位为J，x、y、z的单位为m，F的单位为
N.
解：（1）由作用力和势能的关系：
?EP?(?ax2?bxy?cz)F?????(2ax?by)i?bxj?ck
?r?r（2）取一个比较简单的积分路径：r?dxi?dyj?dzk，则积分可得：
W??F?dr??[(2ax?by)i?bxj?ck]?(dxi?dyj?dzk)
=9a-9b-3c
3-8. 轻弹簧AB的上端A固定，下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原长为l0，劲度系数为k，重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，如图所示。取x轴向下为正，且坐标原点位于：弹簧原长位置O?；力的平衡位置O。若取原点
为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置P时系统的总势能。
解：（1）取弹簧原长位置O?为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一位置P（坐标设为x?）时系统的总势能：EP??mgx??12kx? 2（2）取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一
位置P（坐标设为x）时系统的总势能：
EP??mgx?而mg?kx01122k（x?x0）?kx0 22所以EP??mgx?
11122k（x?x0）?kx0?kx2 2223-9. 在密度为?1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为?2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重
力作用下运动，在
?12??2??1的条件下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，
以及细棒能进入液体的最大深度H。
解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：
?2lsg??1hsg ，则h??2l。 ?1h1?2slv2??2sglh????1gsydy
02在下落过程中，利用功能原理：
所以：vmax??2gl ?1进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时：
??2sglh????1gsydy 所以H?0Hl?
?1??22?13-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力f的作用，设阻力与速度的大小成正比，比例系数k为常数，即f??kv，试求质量为m的卫星，开始在离地心r0?4R（R为地球半径）陨落到地面所需的时间。
解：根据题意，假设在离地心r0?4R处质点的速度为v1，地面上的速度为
v2Mmv?G02，所以2?v2。提供卫星运动的力为万有引力：mrrv1在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出：
r0?2 Rfdt??kvdt?mdv
交大大物第三章习题答案
