专题讲义：与圆相关的解析几何综合问题

专题 解析几何中与圆相关的综合问题

专题概述 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.

典型例题 【例1】（2024?湖南模拟）已知圆C:(x?2)2?y2?32，点D(2,0)，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q． （1）求点Q的轨迹方程．

（2）设点A(0,2)，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．

【例2】（2024?南昌一模）已知圆F1:(x?1)2?y2?r2(lr3)，圆F2:(x?1)2?y2?(4?r)2． （Ⅰ）证明圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；

（Ⅰ）已知点Q(m，0)(m?0)，过点E斜率为k(k?0)的直线与(I)中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k1，直线QN的斜率为k2，是否存在实数m使得k(k1?k2)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

【例3】（2024?常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线l1，l2，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A?B?C（如图，A在B右侧）．其中，BC与圆O相切于点Q，OA?l1，OA?30米．设?CBP??，

?满足0????2．

（1）试将木栈道A?B?C的总长表示成关于?的函数L(?)，并指出其定义域； （2）求木栈道A?B?C总长的最短长度．

【变式训练】1.（2024?珠海一模）设P为圆x2?y2?6上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M是线段PQ上的一点，且满足PQ?3MQ． （1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点F(2,0)作直线l与曲线C相交于A，B两点，设O为坐标原点，当?OAB的面积最大时，求直线l的方程．

2．（2024春?山西月考）已知直线x?my?1与圆(x?1)2?(y?1)2?4相交于A，B两点，O为坐标原点． （1）当m?1时，求|AB|；

（2）是否存在实数m，使得OA?OB，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．