高考的味道 - 考前必刷题之数学（理）（全国I卷）：10.概率与统计

（六）统计

2024《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，

高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )

A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 B

（七）概率

1. 2024投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312

2.2024某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A . 1123 B . C . D . 32343.2024如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于 正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A．1.A 2.B 3.B

1π1 B． C． 482 D．

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秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p满足

11?p?，故选B．学科&网 42【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算P(A). （二十一）概率与统计

1.2024某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

rx 46.6 ury 56.3 urw 6.8 ?(x?x)ii?182 ?(w?w)ii?182 ?(x?x)(y?y) ?(w?w)(yii88ii?y) i?1i?1289.8 1.6 i1469 108.8 ur1表中wi?xi ，w =

8?wi?18

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，……，(un,vn)，其回归线v????u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

2. 2024某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

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以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；

（II）若要求P(X?n)?0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n?19与n?20之中选其一，应选用哪个？ 3. 2024为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求

2P(X?1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 10.13 9.96 10.02 10.01 9.22 9.92 9.98 10.04 9.95 10.04 10.05 11611611622xi?9.97，s?经计算得x?其中xi为抽取的第i(xi?x)?(?xi?16x2)2?0.212，??16i?116i?116i?1个零件的尺寸，i?1,2,???,16．

?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计值判断是否需对当天的用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3??)之外的1数据，用剩下的数据估计?和?（精确到0.01）． 生产过程进行检查？剔除(?2附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则P(??3??Z???3?)?0.997 4，

1.（Ⅰ）y?c?dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（Ⅱ）$y?100.6?68x（Ⅲ）46.24

2.（I）略（II）19（III）n?19 3.解析：

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试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(??3?,??3?)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

(??3?,??3?)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此

X的数学期望为EX?16?0.0026?0.0416.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(??3?,??3?)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(??3?,??3?)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

??0.212，由样本数据可以看出??9.97，?的估计值为?（ii）由x?9.97,s?0.212，得?的估计值为???3??,???3??)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 有一个零件的尺寸在(???3??,???3??)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为剔除(?值为10.02.

1(16?9.97?9.22)?10.02，因此?的估计15?xi?1162i??3??,???3??)之外的数据9.22，剩下数据的样本方?16?0.2122?16?9.972?1591.134，剔除(?差为

1(1591.134?9.222?15?10.022)?0.008， 15因此?的估计值为0.008?0.09.

考纲原文

（六）统计

1．随机抽样

（1）理解随机抽样的必要性和重要性.

（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法. 2．用样本估计总体

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（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.

（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.

（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.

（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.学科&网

（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 3．变量的相关性

（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

（七）概率

1．事件与概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. （2）了解两个互斥事件的概率加法公式. 2．古典概型

（1）理解古典概型及其概率计算公式.

（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3．随机数与几何概型

（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. （2）了解几何概型的意义.

（二十一）概率与统计

1．概率

（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性. （2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

（3）了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

（4）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.学科&网

（5）利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2．统计案例

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了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题. （1）独立性检验

了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用. （2）回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

概率与统计作为高考的必考内容，在2024年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现.

对于概率部分，选择题或填空题中概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率.解答题中则常与统计知识相结合，考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用.

对于统计部分，选择题、填空题中以考查抽样方法和用样本估计总体为主，兼顾两个变量的线性相关；解答题中则重点考查求回归直线方程及独立性检验.

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