则
即
这里应估计到，于是
中必有一个是奇数（否则若它们全是偶数，则
但
则
，只有，不妨令
而7是素数，★★★式中
是
必是2的倍数，但它不等于14，（否
，且
（★★★）
也是素数，因而不可能成立！），于是只能
因此也不是成立的！综上知，不存在
例5.试证：
。
证明：
（i）当
是奇数时，
，注意到
，于是
（ii）当是偶数时，不妨设
综i,ii，原命题成立。
例6.证明的值或者是1或者是偶数，其中证明：（i）当=1，2时，（）=1；
（ii）当>2时，若
则是偶数；
若
。
，于是
【能力训练】
1．证明自然数的所有正约数的欧拉函数值的和为（即
）
2．设(m,n)=d,则?(mn)=?(m)?(n)?
d.。?(d)
3．记不大于自然数而与互素的数（共
，求证
。
参考答案
【能力训练】
1．首先注意，若自然数
。
这是因为不大于而与有公约数
的数只能是
。
，即
现记
，于是有
不大于而与以不大于而与以……
不大于而与以
为最大公约数的数有
个；
最大公约数只能是
为最大公约数的数有为最大公约数的数有
个；个；
，并注意到：
而任何一个不大于的数与之一,
于是
2．注意
,即.
3.由一般而言，若
可见，1与15-1；2与15-2；4与15-4；都是小于15且互素的数，
则有
，于是
（若不然，设矛盾）。
为不大于且与互素的所有自然数，则
则
记
也是不大于且与互素的所有自然数,从而
竞赛中的三角函数例题选讲
【内容综述】
一．三角函数的性质1．正，余弦函数的有界性
对任意角，，2．奇偶性与图象的对称性
正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线
轴对称，并且其图象还关于直线
3．单调性
y=sinx在上单调递减：y=cosx在
上单调递减；y=tanx在
对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y
对称
上单调递增，在
上单调递增，在
上都是单调递增的；
y=cotx在上都是单调递减的。
4．周期性
y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与y=cosxr的最小正周期是π。
【例题分析】
例1已知圆x2+y2=k2至少覆盖函数值点，求实数k的取值范围。
解因为
是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆x2+y2=k2也关
的一个最值点即可。
，依题意，
的一个最大值点与一个最小
于原点对称，所以，图x2+y2=k2只需覆盖
令，可解得的图象上距原点最近的一个最大值点此点到原点的距离不超过|k|，即
综上可知，所求的K为满足例2已知
的一切实数。，且
求cos(x+2y)的值。解原方程组可化为
因为所以令，则在
上是单调递增的，于是由得f(x)=f(-2y)得x=-2y即x+2y=0
例3求出（并予以证明）函数解首先，对任意
，均有
这表明，其次，设
是函数f(x)的一个周期
，T是f(x)的一个周期，则对任意
，均有
在上式中，令x=0，则有
。
两边平方，可知
即
综上可知，函数
sin2T=0，这表明，
的最小正周期为
。，使得
矛盾。
例3求证：在区间内存在唯一的两个数
sin(cosc)=c,cos(sind)=d证，构造函数f(x)=cos(sinx)-x
f(x)在区间内是单调递减的，由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0.
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