（iii）先证在（0，2a）内f(x)为减函数，事实上，设
，则
（当
，则）。
所以
当时，
，于是
即在（2a，4a）内，f(x)也是减函数，从而命题得证。
函数通性训练题
【能力训练】A级选择题
★★1．若a＞0，a≠1，F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)(（A）奇函数
（B）偶函数
（C）非奇非偶函数
11
+)是（）ax?12
（D）奇偶性与a有关
★★2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[-2，0]时，f(x)的解析式是（）
（A）f(x)=x+4(B)f(x)=2-x（C）f(x)=3-|x+1|(D)f(x)=2+|x+1|
★★★3．设f(x)，g(x)是定义在（-∞，+∞）上的两个函数，对任意实数x，y满足f(x＋y)+(x－y)=2f(x)g(x),若f(0)=0，但f(x)不恒等于0，则
（A）f(x)，g(x)都是奇函数（B）f(x)，g(x)都是偶函数
（C）f(x)是偶函数，g(x)是奇函数（D）f(x)是奇函数，g(x)是偶函数。
★★4．奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，函数y=f-1(x)在[0，+∞]上是减函数，则
上是（）
（A）是增函数（B）是减函数
（C）有时是增函数，有时是减函数
（D）有时是增函数，有时是减函数，有时是常数函数。
★★5．函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图象间的关系是（）（A）关于y轴对称（B）关于x轴对称（C）关于直线x=2a对称填空题
11
★★6．函数f(x)对一切实数x都满足f(+x)=f(?x)，并且方程f(x)=0有三个实
22根，这三个实根的和是________.
★★★★7．设奇函数y=f(x)的定义域为R，f(1)=2，且对任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x＞0时，f(x)是增函数，则函数y=－f2(x)在这间[-3，-2]上的最大值是______.
★★8．定义域是实数域的奇函数f(x)，对任意实数x都有f(x)=f(x+2)则f(2)+f(4)+f(6)+…+f(1992)+f(1994)=_____。
★★★★9．设函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且单调递增，满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)
（1）证明：f(1)=0f(1)=0。
（2）求f(4)。
（3）若f(x)+f(x-3)≤2，求x的范围。（4）举出一个符合上述要求的函数f(x)。
（D）关于直线x=a对称
B级
★★★10．设函数f(x)对任一实数x满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求证：f(x)在[-30，30]上至少有13个零点，且f(x)是以10为周期的函数。
★★★★11．函数f1(x)=sinx和f2(x)=sinπx的最小正周期分别为2π和2。证明f(x)=sinx+sinπx不是周期函数。
★★★★12．证明：若函数y=f(x)在R上的图解关于点A(a,y0)和直线x=b(b＞a)皆对称，则f(x)为周期函数。
★★★★13．设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何x∈R均有|f(x)|
1311
≤1，以及f(x+)+f(x)=f(x+)+f(x+).4267
证明：f是周期函数，即存在一个非零实数C，使得对任何x∈R，成立f(x+C)=f(x).
参考答案
【能力训练】
A级
★1．B。
，
故G(x)是偶数。
2．C。当x∈[－2，－1]时，x+4∈[2，3].f(x)=f(x+2·2)=f(x+4)；当x∈[－3，－2]时，由于f(x)为偶函数∴f(x)=－x，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(x－2)=－(x－2)=－x＋2．3．D。令x=0，f(－y)=－f（y）；又将－y代换成y，f(x－y)+f(x+y)=2f(x)g(－y),∴g(－y)=g(y)
4．A。如果一个函数存在反函数，那么它们的单调状况相同。5．D。设(x0,y0)是y=f(x－a)图象上任意一点，则
y0=f(x0－a)=f[a－(2a－x0)],∴点(2a?x0,y0)在y=f(a?x)的图象上;反之也成立.
6．y=f(x)的图象关于x=
111
对称，其中一根必是，另两根之和是2×=1。故所有实222
根之和是1.5。
7．令x1=x2=0,f(0)=0,由f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上为增函数，故在（－∞，0）
上也为增函数，且f(2)=f(1+1)=2f(1)=4，用定义易知，y=?f2(x)在(?∞,0)上为增函数。故[-3，-2]上的最大值是?f2(?2)=?16.
8．f(x)为R上的奇函数，
f(0)=0,且f(0)=f(2)=f(4)=…=f(1994)=0，故原式为0。
9．（1）取x=1，y=2，得f(2)=f(1·2)=f(1)+f(2).∴f(1)=0（2）f(4)=f(2)+f(2)=2.
（3）f(x)+f(x+3)=f[x(x-3)]≤2=f(4)，所以
x2?3x≤4,?1≤x≤4,但x?3＞0,故3＜x≤4.
（4）可取f(x)=log2x.B级
10．f(x)关于x=2和x=7对称。
f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有两个零点。
f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10为周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．综上，f(x)在[－30，30]上至少有13个零点。
11．反证，若周期为T，则sin（x＋T）＋sin(π(x＋T))=sinx＋sinπx
∴sin
T2x+TπT2πx+πT?cos=?sin?cos2222
①
存在x0∈R,使得cos对每个x∈R，?sin
2πx0+πT2x+T=0,而cos0≠0,将22
代入①，∴sin
T=0,于是2
πT2πx+πTπT?cos≡0,由于，故?sin≡0,，222
TπTTπT∴sin=0,sin≡0,=kπ,=mπ,k,m∈Z,于是kπ=m，矛盾。
222212．提示4（b－a）是它的一个周期，由已知有f(a+x)－y0=y0－f(a－x)①f(b＋x)=f(b－x)②，
反复利用①、②，可证f[x＋4(b－a)]=f(x)
13．
①
同样，有
②
由①、②
即
对所有π∈N成立。
又∵f(x)有界，故只有f(x+1)－f(x)=0.∴f(x+1)=f(x),f(x)为周期函数。
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