例4设二次函数而且若点上。
在
的图象上，则点
的图象以y轴为对称轴，已知
在函数
的图象
，
（1）求的解析式
（2）设，问是否存在实数，使内是减
函数，在内是增函数。
分析由已知条件的解析式不难求得，欲求，可按定义分别求出
内分别是减函数，增函数的
可。
的范围，求出它们的交即
解（1）因的对称轴为y轴，故，从而。
设在
的图象上，即
的图象上，即
。
，则点在
故，因此，。
（2）由（1）可得。
设，则
要使故只要
在内为减函数，只需，所以
。
，但，
然而当时，，因此，我们只要，
在，内是减函数。
同理，当时，内是增函数。
综上讨论，存在唯一的实数，使得对应的满足要求。
例5奇函数的定义域为R，当时，，设函数
的值域为，，求a，b的值。
分析可先由已知条件写出形讨论
在R上的解析式，再根据二次函数的单调性分情
的最大值和最小值，从而得到关于a、b的方程。
解：是奇函数
时，函数式为
因为与同时存在，
所以
同号分以下情形讨论：
（1）时，由
（2）时，由
（3）时，由
无解
（5）时，由
矛盾
（6），由
与矛盾。
综上分析
说明本题源自第四届“希望杯”第二试解答题，重在考查学生的分类讨论问题能力和运用函数性质的解题能力。
例6函数在定义域中存在
的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x，使
，
，且满足以下3个条件。
（1）定义域中的数，，或，则
。
（2），（a是一个正常数）
（3）当0＜x＜2a时，f(x)＞0。
证明（i）f(x)是奇函数；（ii）f(x)是周期函数，并求出其周期；（iii）f(x)在（0，4a）内为减函数。
证：（i）对定义域中的x，由题设知在定义域中存在
，则
使，
∴f(x)为奇函数
（ii）因f(a)=1，∴f(-a)=-f(a)=-1，于是
若f(x)≠0，则
若f(x)=0，则
仍有f(x+4a)=f(x)。
∴f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。
高中数学奥赛系列辅导材料
