，容易看到
经过这样的替换后，代，因为
，
中某个元素
被含
也符合题目中的条件，并且
的另一个
的子集
，所替
中元素少于
中的元素数目有限。所以有限次替代后，总可使新的子集族中各元素含有
与
矛盾，这表明不
中的元素数目不超过3，这就看出存在符合题目条件的多于175个的
的子集形成的子集族，即这样的子集族恰有175个。
说明：这道题是一类典型问题的代表，这种问题的解法就是先构造，然后证明更多或更少不行。在证明过程中尽量把它往构造出来的方向化规。
例6：在个元素组成的集合中取
个不同的三元子集。证明：其中必有两个，它们
恰有一个公共元。
分析：证明恰有一个公共元也许挺难。那么证只有两个或零个公共元不可能是否可行呢？如果具有两个公共元的集合
与
表示为
、那么~有传递性。是否有用呢？
证明：设结论不真。则所给的3元子集要么不交，要么恰有两个公共元，如果子集与则
恰有两个公共元，则记
。设
是三个子集。可以证明如果
，
，
，于是所有给定的3元子集可以分类，使得同一类中任意两个不同子集都恰有两
个公共元。而不同类的子集不相交。于是对每个子集类，有三种可能：（1）恰含3个元素的类。（2）恰含4个元素的类。（3）至少含5个元素的类。
在（1）下，3元子集类恰由一个3元子集组成。在（2）下，子集类中至多有4个子集。
考虑（3）设
，
，则还有一个，由
，
，由，
，它包含
，有与，
。因此对子集类中任意子集
于是类中子集个数比类中元素个数少2，于是，每个类中子集个数不超过元素个数，但是题中条件子集数大于元素个数，矛盾！
说明：此题为1979年美国竞赛题。题目难度较大，应该说是应用了高等代数中的一些思想。
1．求的所有子集元素的和之和。
2．小明去买东西，现在他有10元，希望分成10包，使在商店内他能买起的东西都可
由包中的钱直接支付。
3．能否把整数集合分成3个子集，使得对每个整数，集合。
4．10名学生按下面的规则组成运动队，规则是：①每人可报名参加任何一个运动队；②每个运动队都不能完全包含于或重合于另一个运动队。问：最多几个队？每队分别多少人？
都属于不同的
参考答案
1．我们可以发现对每个数
，它出现在
个子集之中，因此所有子集中的
的和为
，那么全部元素在全部子集之中的和为。
2．利用二进制来考虑此题，小明的前9包分别有钱1分（2），10分（2），100分（2），1000分（2），10000分（2），100000分（2），1000000分（2），10000000分（2），100000000分（2），剩下一包装剩下的钱（以上数皆为二进制）就可以了。
3．不能。反证法。设存在合乎题中条件的一种分法，如果记为
，否则记为
，对
，若
和同属于一个子集，则
为好的。
都
是好的。
，
在第二组中用代替由此盾！
有这样一个结论
阶集合的子集
若满足
且
则
的最大值
，而
，故
是好的。故
即
，但，故
。
。矛
分在三个集合中则称
为，代入本题得为。
有关函数通性的试题选讲
【内容综述】
函数是数学上的一个基本而又重要的概念，在现代数学中，它几乎渗透到各个分支中。
函数的性质主要指函数的对称性、单调性和周期性。
函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系，恰当地运用函数的对称性，往往可使问题简化。函数的奇偶性是对称性中最重要的特殊情形。
函数的单调性可用函数值的比较给出证明，利用函数的单调性，可以比较实数的大小，证明一些不等式和确定某些函数的值域及最值。
设f是D上的函数，如果存在常数T≠0，使得对每个x∈D，都有f(x+T)=f(x-T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期，如果f(x)的所有正周期中存在最小值小正周期。
例题分析：
，称
为周期函数f(x)的最小正周期，一般说函数的周期都是指最
例1已知函数y=f(x)(x∈R，且x≠0)，对任意非零实数
，试判定f(x)的奇偶性。
都有
分析：欲判别f(x)的奇偶性，即找出f(-x)与f(x)之间的关系，可令
，为此必求出f(-1)，而求f(-1)，又可令
必先求出f(1)，而f(1)不难求得。
，
，为此又
解令，则f(1)=2f(1)，所以f(1)=0。
令，，则f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0。
于是，在已知等式中，以-1，x分别代替x)=f(x)，故f(x)为偶函数。
，则f(-x)=f(-1)+f(x)，即f(-
说明在以抽象的函数等为条件的问题中，常常先考虑x取0，-1，1等的特殊值，再利用f(0)，f(±1)的值来研究函数f(x)的性质。
例2设a是大于0的实数，f(x)是定义在全体实数R上的一个实函数，并且对每一实数x满足条件：
1．试证明：函数f(x)是周期函数，也就是，存在一个实数b＞0，使得对每一x都有f(x+b)=f(x)。
2．就a=1举出一个这种函数f(x)的例子，但f(x)不能是常数。分析推边探索。
这是一道探索存在性的问题，题中给出的已知条件只有唯一的一个含有a
的方程，直觉告诉我们，f(x)的周期定与a有关，于是，我们可从原方程出发，边递
解1，由有
①
②
将②代入①
但
故f(x+a)=f(x-a)
即f(x)是一个周期函数，且周期b=2a。
2．现在我们来构造一个周期为2的，满足（1）式的函数f(x)，由于（1）式可化为
这使我们想到最熟悉的周期函数：正余弦，但同时应注意到2f(x)-1非负、周期
为2，所以可令
即
不难证实它的确满足条件。
说明f(x)不唯一，显然，函数也是满足条件的一个函数。
例3证明：函数证：注意到恒等式
可以表示为两个单调递增的多项式函数之差。
而函数得证。
都是单调递增的多项式函数，从而命题
说明一般地，任意实系数多项式可表示为两个单调递增的多项式函数之差。
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