求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全,归纳细)

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法:

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法)、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、 特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四.求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

１．适用于:an?1?an?f(n) --－-------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2.若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2) an?1?an?f(n)

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求数列通项公式的十种方法

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1 (n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n22所以数列{an}的通项公式为an?n。

n例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

nn解法一:由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1n所以an?3?n?1.

?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3

?32?31)?(n?1)?3nn?1解法二：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得

an?1an21?n??n?1， n?13333则

an?1an21???，故 3n?13n33n?12 / 32

求数列通项公式的十种方法

ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?)?32313

212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?13333331(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n, ???1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322

练习

an?an?1?an?2n(n?N*)??a?1.已知数列的首项为１，且写出数列n的通项公式.

2n?n?1 答案:

练习2.已知数列

{an}满足a1?3,

an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.

答案:裂项求和

an?2?1n

a?an?f(n)评注:已知a1?a,n?1,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函

数、分式函数,求通项

an.

①若f(ｎ)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和； ②若ｆ（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n）是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若ｆ(ｎ)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。

例３．已知数列

{an}中,

an?0Sn?且

1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.

Sn?解:由已知

1n1n)(an?)Sn?(Sn?Sn?1?2Sn?Sn?1， 2an得

,由类型（1)有

2Sn?S12?2?3???n化简有

22Sn?Sn?1?n,

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