【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》期末复习知识要点
一、选择题
1．“a?b”是“aa>bb”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
首先判断y?xx的单调性，再根据单调性判断充分必要条件. 【详解】
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
?x2,x?0y?xx??2，函数是奇函数，并且在R上单调递增，
?x,x?0?所以a?b时，aa>bb，
反过来，若满足aa>bb时，根据函数y?xx是单调递增函数，所以a?b， 所以a?b”是“aa>bb”的充要条件. 故选：C 【点睛】
本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型.
2．已知集合A?xx?2x?3?0，B?xlg?x?1??1，则eRAIB?（ ）
2????????C．?x?1?x?3?
【答案】C 【解析】 【分析】
A．x?1?x?3
??D．?x?1?x?9?
B．x?1?x?9
解出集合A、B，再利用补集和交集的定义得出集合eRA?B. 【详解】
解不等式x2?2x?3?0，得x??1或x?3；
解不等式lg?x?1??1，得0?x?1?10，解得?1?x?9.
???A?xx?1或x3，B??x?1?x?9?，则eRA??x?1?x?3?，
因此，eRA?B?x?1?x?3，故选：C. 【点睛】
??????本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
?x?y?1?0?3．已知?7x?y?7?0，表示的平面区域为D，若“?(x,y),2x?y?a”为假命题，则实
?x?0,y?0?数a的取值范围是（ ） A．[5,??) 【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“?(x,y),2x?y?a”为真命题，由恒等式的思想可得实数
B．[2,??)
C．[1,??)
D．[0,??)
a的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令Z?2x?y得y??2x?Z，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，
?x?y?1?0?47?联立直线方程?得点A?,?，所以Z?2x?y的最大值为5，
?33??7x?y?7?0因为“?(x,y)?R,2x?y?a”为假命题，所以“?(x,y),2x?y?a”为真命题，所以实数a的取值范围是5?a， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
4．“c?1”是“直线x?y?c?0与圆?x?2???y?1??2”相切的（ ） A．必要不充分条件 C．充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
22根据直线与圆相切，求得c?1或c?3，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】
由题意，圆?x?2???y?1??2的圆心坐标为(2,?1)，半径为2， 当直线x?y?c?0与圆?x?2???y?1??2相切，可得d?r， 即d?2222?1?c2?2，整理得c?1?2，解得c?1或c?3，
22所以“c?1”是“直线x?y?c?0与圆?x?2???y?1??2”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5．若数列?an?的前n项和为Sn，则“Sn?A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由Sn?n?a1?an?”是“数列?an?是等差数列”的（ ） 2B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
n?a1?an?(n?1)?a1?an?1?，Sn?1?，得
22(n?1)an?1?a1?(n?2)an①，同理可得(n?2)an?2?a1?(n?3)an?1②，综合①，
②，得2an?1?an?an?2，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若Sn?n?a1?an?(n?1)?a1?an?1?2时，Sn?1?，所以当n…， 22所以2an?n?a1?an??(n?1)?a1?an?1?，化简得(n?1)an?1?a1?(n?2)an①，
3时，(n?2)an?2?a1?(n?3)an?1②， 所以当n…①?②得2(n?2)an?1?(n?2)?an?an?2?，所以2an?1?an?an?2，即数列?an?是等差数列，充分性得证，所以“Sn?故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
n?a1?an?”是“数列?an?是等差数列”的充要条件. 2
6．已知x，y?R，则“x?y”是“A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
x?1”的（ ） yB．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x?y，不能得到
【详解】 因为x，y?R，
xx?1， ?1成立也不能推出x?y，即可得到答案. yy当x?y时，不妨取x??1,y??故x?y时，
1x，?2?1， 2yx?1不成立， yx当?1时，不妨取x?2,y??1，则x?y不成立， y综上可知，“x?y”是“故选：D 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
x?1”的既不充分也不必要条件， y
7．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（ ） A．-3或-1或2 C．-3或2 【答案】C 【解析】
若1?a=4，则a=?3，∴a2?a+2=14，∴A={2,4,14}； 若a2?a+2=4，则a=2或a=?1，检验集合元素的互异性： a=2时，1?a=?1，∴A={2,?1,4}； a=?1时,1?a=2(舍)， 本题选择C选项.
B．-3或-1 D．-1或2
8．下列有关命题的说法正确的是（ ） A．函数f(x)?1在其定义域上是减函数 xB．命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题为真命题 C．“x??1”是“x2?5x?6?0”的必要不充分条件
D．命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若x2?1，则x?1” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A：由反比例函数的图象与性质知，函数f(x)?调递减，故选项A错误；
对于选项B：由题意知，当x?y时，sinx?siny显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B正确；
对于选项C：当x??1时，有x2?5x?6?0成立，反过来，当x2?5x?6?0时，可得
1在区间???,0?,?0,???上单xx?6或x??1，所以“x??1”是“x2?5x?6?0”的充分不必要条件，故选项C错误；
对于选项D：根据原命题的否命题的定义知，命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若
x2?1，则x?1”，故选项D错误；
故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
9．已知实数a、b满足ab?0，则“A．充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11
?成立”是“a?b成立”的（ ） ab
C．充要条件
D．非充分非必要条件
B．必要非充分条件
11b?a??， abab11? 成立, abQab?0，?若
高考数学压轴专题（易错题）备战高考《集合与常用逻辑用语》分类汇编附答案解析
