河南省第十四届（2006）高中数学竞赛分年级竞赛
高中二年级试卷
（考试时间 2006年5月14号 ）
题 号 得 分 评卷人 一 二 三 四 五 六 总 分 考生注意：本试卷共六道大题，满分140分. 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分共30分）本大题共有六个小题，每小题后面给出了A、B、C、
D四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后括号内，选对一个得5分，错选、漏选或多选，一律得零分．
1．已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，则实数a的取值范围是 答 [ ]
（A）?aa?1?（B） ?aa?1或a??1? （C）?aa??1或a?1? （D）?a0?a?1? 2．当?取遍全体实数时,直线xcos??ysin??4?2sin(??) 4所围成的图形的面积是 答 [ ]
(A) ? (B) 4? (C)9? (D) 16? 3.在数列{an}中，相邻两项an, an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，已知a10=－17.则b51的值等于 答 [ ]
（A）5800 （B）5840 （C）5860 （D）6000
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?
4.已知a、b、c、d是四个不同的有理数，且(a?c)(a?d)?1，
(b?c)(b?d)?1，则(a?c)(b?c)的值等于 答 [ ]
（A）2 （B）1 （C）0 （D） ?1
5.设函数f(x)=x2?6x?8,如果f(bx?c)=4x2?16x?15，那
么c?2b的值等于 答 [ ]
（A）3 （B）7 （C）?3 （D） ?7
6、已知p,p+14,p+q都是质数，并且p有唯一的值和它对应，
则q只能取 答 [ ]
（A） 40 （B） 44 （C） 74 （D） 86 得 分 评卷人 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）把答案填在题中的横线上
1. 直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若
. l被抛物线截得的线段长为4，则a= 2．设 a?b?0,则a4?32的最小值是 . b(a?b)2?(n?1)an+1， 3．已知数列?an?满足a1?3, an?1?an则数列?an?的前n项和等于 .
4. 边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 .
x2y25.过椭圆2?2?1的一个焦点F作弦AB若AF? m，BF? n，
6211?? . mn1x2x5x6．设t=()?()?(),则关于x的方程(t?1)(t?2)(t?3)=0的所
236有实数解之和等于 . 则
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得 分 评卷人 三（本题满分20分）如图，在矩形ABCD中， AB＝3，BC＝a，又PA⊥平面ABCD，PA＝4． (1)若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围； (2)当BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求异面直线AQ与PD所成的角；
(3)若a＝4，且PQ⊥QD，求二面角A－PD－Q的大小．
D C Q B
P
A
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得 分 评卷人 x2四（本题满分20分）已知椭圆C：?y2?141的直线Ｌ经过点Ｐ并与椭圆C交2于不同的两点Ａ、Ｂ，且对于椭圆上任意一点Ｍ，都存在及定点P(t,0)(t>0),斜率为
???0,2??，使得OM=
cos?OA+sin?OB成立.试求出满足条件的实数t的值.
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得 分 评卷人 五.（本题满分20分）已知菱形ABCD是椭圆 x2y2C：2?2?1（a?b?0）的内接四边形。（1）ab求证：11为定值。（2）求菱形ABCD面积的最值. ?22OB
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