8.3.2 圆的一般方程
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．
2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程． 3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力． 【教学重点】 圆的一般方程． 【教学难点】
二元二次方程与圆的一般方程的关系． 【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】 环节 引 入 教学内容 1. 圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？ 2. 回答下列问题 （1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是 ； （2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是 ，半径是 ． 3. 直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？ 师生互动 师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？ 学生回答教师提出的问题． 学生口答，教师点评． 教师类比直线方程提出问题． 设计意图 回顾上节所学内容，为学习新知做好准备． 新 课
探究一 （1）请将圆心在(a，b)半径为r的学生解决教师提出的问题，教使学生初步了圆的标准方程展开； 师点评． 解圆的一般方程的（2）展开后得到的方程有几个未 形式． 知数？最高次是几次？这个方程是几 元几次方程？ （3）如果令－2a＝D，－2b＝E， a2＋b2－r2＝F，这个方程是什么形式？ （4）任意一个圆的方程都可表示师：在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋ 强调方程中D，为 F＝0中D，E，F是常数吗？为什E，F是常数． x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 么？ 的形式吗？ 探究二 （1）请举出几个形式为 学生回答教师提出的问题． 加深对圆的一1
新 课
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 般方程形式的认识． 的方程； （2）你所举出的方程一定表示圆学生思考教师提出的问题． 学生通过举例吗？ 师：将方程x2＋y2＋2x＋2y＋ 验证引出问题（2）． 下述方程表示的是圆吗？ 8＝0配方，你能得到怎样的方程？ x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0， 学生根据教师提示分组解答， x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0， 配方后方程分别为 x2＋y2＋2x＋2y＝0． (x＋1)2＋(y＋1)2＝－6， (x＋1)2＋(y＋1)2＝0， (x＋1)2＋(y＋1)2＝2． 探究三 满足怎样的条件时，方程 学生猜想． 让学生主动猜 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ① 想． 表示圆？ 将方程配方，得 教师强调配方法的应用，引导 D2E2D2＋E2－4F(x＋)＋(y＋)＝． ② 224学生解答． 强调配方法在（1）当D2＋E2－4F>0时，方程①师：将方程②同圆的标准方程解决二次问题中的比较，如果方程②表示圆，必须满应用． DE表示以(－，－)为圆心，且半径为 22足怎样的条件？ 此时圆的圆心坐标是多少？圆类比圆的标准1D2＋E2－4F的圆； 2的半径呢？ 方程，探究方程二元（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程学生回答，教师点评． 二次方程表示圆的师：由以上探究可知，只有当条件． DE①表示点(－，－)； 22D2＋E2－4F>0时，方程 （3）当D2＋E2－4F<0时，方程① x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 不表示任何图形． 才表示一个圆． 圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，方程 师：圆的标准方程指明了圆的 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 圆心和半径，圆的一般方程表明了 叫做圆的一般方程． 圆的方程形式是二元二次方程． 练习一 求出下列圆的圆心及半径： 学生练习，教师巡视时应当引 （1）x2＋y2－6x＝0； 导学生用配方法求解． （2）x2＋y2－4x－6y＋12＝0. 例1 求过点O(0，0)，M(1，1)，师：确定一个圆的标准方程需强调圆的标准N(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半要知道哪几个值？要确定圆的一般方程和一般方程的径和圆心坐标． 方程呢？ 特点． 解：设所求圆的方程为 学生回答． x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中D，E，F待定． 师：先设所求方程为 2
新 课 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ??F＝0师：根据圆经过三个点，这三?D＋E＋F＋2＝0 ??4D＋2E＋F＋20＝0个点的坐标应满足方程，所以我们解得 会得到一个三元一次方程组． D＝－8，E＝6，F＝0． 教师引导学生解方程组． 于是所求圆的方程为 师：求出D，E，F的值，所求x2＋y2－8x＋6y＝0． 圆的方程也就确定了． 将这个方程配方，得 师：像这种求圆的一般方程的(x－4)2＋(y＋3)2＝25． 方法叫待定系数法． 所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，师：类似前面的讨论，我们可半径为5． 以用配方法表示出圆的标准方程， 然后写出圆心坐标及半径． 练习二 求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4， 0)的圆的方程． 学生练习，教师巡视． 例2 已知一曲线是与两个定点 师：请同学们回顾一下推导圆1O(0，0)，A(3，0) 距离比为的点轨迹，2的标准方程时的过程． 求这个曲线的方程． 学生看书回顾，教师指明推导解 在给定的坐标系中，设M(x，标准方程的主要步骤． y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上师：设动点，写出动点M满足的充要条件是 的条件． |OM|1＝． |AM|2 由两点间的距离公式，上式可用坐 标表示为 师：用点的坐标表示M满足的几何条件． x2＋y21 ＝， 2(x－3)2＋y2 两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0． 师：化简方程． 将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4. 所以所求曲线是以C(－1，0)为圆 心，半径为2的圆． 教师演示所得图形曲线． 练习三 求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的 学生练习，教师巡视． 距离比为2 的点的轨迹方程． 由题意得 让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤． 类比推导圆的标准方程的步骤，让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法． 强化训练． 3
小 结 1．圆的一般方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中D2＋E2－4F>0． 2．待定系数法求圆的一般方程． 学生在教师的引导下回顾本节主要内容． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 作 业
教材P96练习A组第1，2题． 教材P96练习B组第2题（选做）． 学生标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置． 4
【人教版】中职数学(基础模块)下册：8.3《圆的方程》教案(2)
