8．在中，若，，，斜边上的高为，则有结论，运用类比方法，
若三棱锥的三条侧棱两两个互相垂直且长度分别为，，，三棱锥的直角顶点到底面的高为，则有
_____．
【答案】【解析】
；
由于SA=a，SB=b，SC=c，且SA，SB，SC两两互相垂直，
可得S在底面ABC的射影为H，连接CH，延长交AB于D，连接SD， 可得SD⊥AB，CD⊥AB，
在直角三角形SAB中， ，
在直角三角形SDC中，可得．
故答案为：
9．如下图，在四面体
． 中，
，平面
平面
，
，且
.若
与平面
所
成角的正切值为，则四面体的体积的最大值为__________．
【答案】【解析】 设因为所以又
，则，平面平面与平面中，
平面
. ，平面的高为，故
平面. .
（
），
，
平面
，
，三棱锥所成角的正切为
边上的高为
故令
，
，
， ，
[来源学科网]
当所以
时，在
，当
为增函数，在
时，，
.
为减函数，故体积的最大值为
10．由空间一点O出发的四条射线两两所成的角相等，则这个角的余弦值为_____． 【答案】－ 【解析】
如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，
设正四面体ABCD的棱长为a，
作AE⊥面BCD，垂足为E，作BF⊥CD，交CD于F，则O∈AE，E∈AF，连结AF，
则 ，，
设OA=OB=r，则则所以
，解得
所以这个角的余弦值为
11．三棱锥与面
中，
平面
，
，
，
，是
边上的一个动点，且直线
所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】【解析】
由题意，三棱锥如图所示，则所以
中，
，且
，所以
平面，直线与平面， 的距离为
所成的角为，
的最大值是
，即到
的最小值是，
所以取
，因为，在中可得，
，即可得,
的外接圆圆心为，作
所以取为
，解得
的中点，所以
，所以, ， ，
由勾股定理得所以三棱锥
的外接球的表面积是
.
12．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知四边形ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝AA1＝1，CD＝2，E为BB1的中点，则直线AD与直线CE所成角的正切值为____．
【答案】【解析】
如图，为连结
中点，为，则
中点， ，
可得又有
是平行四边形，，
是
和，
， 所成角，
由直棱柱的性质可得由已知可得所以可得因为所以
平面平面平面，
， ， ， ，
，
，故答案为
13．如图，在棱长为1的正方体
.
中，作以A为顶点，分别以AB，AD，AA1为轴，底面圆
半径为的圆锥．当半径r变化时，正方体挖去三个圆锥部分后，余下的几何体的表面积的最小
值是__________．
【答案】【解析】
由题意，余下几何体的表面积由原正方体的表面积剩余部分和3个圆锥的侧面组成， 其表面积为
，其中
设
，
，
求导并整理得，
专题08-4立体几何问题第四季-2024年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
