高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教
学案（含解析）理
[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 分类标准 类型 有穷数列 项数 无穷数列 递增数列 递减数列 单调性 常数列 摆动数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
6．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
项数无限 满足条件 项数有限 an＋1>an an＋1 ??S1n＝1 则an＝? ?Sn－Sn－1? ， n≥2. [常用结论] 1．数列{an}是递增数列?an＋1＞an恒成立． 2．数列{an}是递减数列?an＋1＜an恒成立． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达． ( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( ) (3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( ) (4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝项． 1 ，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一2an－1 ( ) * [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 1111 2．(教材改编)数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为( ) 23451 A．an＝± n1nB．an＝(－1)· nC．an＝(－1) n＋1 1 n 1 D．an＝ nB [由a1＝－1，代入检验可知选B.] 3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为( ) A．15 B．16 2 22 C．49 D．64 A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝8－7＝15.] 4．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)． 则第6个三角形数是( ) A．27 D．30 B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.] 5．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ －1 n B．28 C．29 an－1 (n≥2)，则a5＝( ) 35A. B. 238 C. 52 D. 3 1－1111－112 D [a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝.] a1a222a3a433 由数列的前几项归纳数列的通项公式 2461．数列0，，，，…的一个通项公式为( ) 357A．an＝ n－1* (n∈N) n＋1 n－1* B．an＝(n∈N) 2n＋1 2n－1* C．an＝(n∈N) 2n－12n* D．an＝(n∈N) 2n＋1 C [注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．] 379 2．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝__________. 210172n＋12×1＋12×2＋12×3＋12×4＋12n＋1 [数列{an}的前4项可变形为2，2，2，2，故an＝2.] 2 n＋11＋12＋13＋14＋1n＋13．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； 1371531 (2)，－，，－，，…； 2481632(3)3,33,333,3 333，…； (4)－1,1，－2,2，－3,3…. [解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1. (2)数列中各项的符号可通过(－1)成数列2222，…， 所以an＝(－1) n＋1 1,2,3,4 n＋1 表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组 2－1 n. 2 n9999999 9992 (3)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,10－ 33331,10－1,10－1，…， 3 4 1n所以an＝(10－1)． 3 (4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－数列的偶数项为1,2,3，…可用表示． 2 n＋1 2 表示， nn＋1－??2n为奇数 因此a＝?n??2n为偶数. n， [规律方法] 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法. 2具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用－1处理. 由an与Sn的关系求通项公式 【例1】 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 21 (2)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. 33 ??2，n＝1， (1)? ?6n－5，n≥2? 2k或－1k＋1，k∈N* (2)(－2) n－1 [(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2×1＋1＝2； 2 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上 式． ??2，n＝1，故数列的通项公式为an＝? ?6n－5，n≥2.? 2121 (2)由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋， 333322 两式相减，得an＝an－an－1， 33∴当n≥2时，an＝－2an－1，即 an＝－2. an－1 21 又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1， 33∴an＝(－2) n－1 .] [规律方法] 1.已知Sn求an的三个步骤 1先利用a1＝S1求出a1； 2用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1n≥2便可求出当n≥2时an的表达式； 3注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化. 1利用an＝Sn－Sn－12利用Sn－Sn－1＝ann≥2转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； n≥2转化为只含an，an－1的关系式，再求解. n (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋1，则数列的通项公式an＝________. (2)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________. ??4，n＝1， (1)?n－1 ??2·3，n≥2 (2)－2 nn－1 [(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4， n－1 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋1－3显然当n＝1时，不满足上式． ??4，n＝1，∴an＝?n－1 ?2·3，n≥2.? －1＝2·3 n－1 . (2)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列， an＝－2n－1.] 由数列的递推关系求通项公式 ?考法1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an 【例2】 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N)，求数列{an}的通项公式． [解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝ * n3n＋1 2 (n≥2)． 1 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式， 232n∴an＝n＋. 22
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