高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教
学案(含解析)理
[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
1.数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 有穷数列 项数 无穷数列 递增数列 递减数列 单调性 常数列 摆动数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
5.数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
6.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,
项数无限 满足条件 项数有限 an+1>an an+1 ??S1n=1 则an=? ?Sn-Sn-1? , n≥2. [常用结论] 1.数列{an}是递增数列?an+1>an恒成立. 2.数列{an}是递减数列?an+1<an恒成立. [基础自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达. ( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个. ( ) (3)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对?n∈N,都有an+1=Sn+1-Sn.( ) (4)若已知数列{an}的递推公式为an+1=项. 1 ,且a2=1,则可以写出数列{an}的任何一2an-1 ( ) * [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 1111 2.(教材改编)数列-1,,-,,-,…的一个通项公式为( ) 23451 A.an=± n1nB.an=(-1)· nC.an=(-1) n+1 1 n 1 D.an= nB [由a1=-1,代入检验可知选B.] 3.设数列{an}的前n项和Sn=n,则a8的值为( ) A.15 B.16 2 22 C.49 D.64 A [当n=8时,a8=S8-S7=8-7=15.] 4.把3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示). 则第6个三角形数是( ) A.27 D.30 B [由题图可知,第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.] 5.(教材改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+ -1 n B.28 C.29 an-1 (n≥2),则a5=( ) 35A. B. 238 C. 52 D. 3 1-1111-112 D [a2=1+=2,a3=1+=1-=,a4=1+=1+2=3,a5=1+=1-=.] a1a222a3a433 由数列的前几项归纳数列的通项公式 2461.数列0,,,,…的一个通项公式为( ) 357A.an= n-1* (n∈N) n+1 n-1* B.an=(n∈N) 2n+1 2n-1* C.an=(n∈N) 2n-12n* D.an=(n∈N) 2n+1 C [注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可.] 379 2.数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=__________. 210172n+12×1+12×2+12×3+12×4+12n+1 [数列{an}的前4项可变形为2,2,2,2,故an=2.] 2 n+11+12+13+14+1n+13.写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 1371531 (2),-,,-,,…; 2481632(3)3,33,333,3 333,…; (4)-1,1,-2,2,-3,3…. [解] (1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1. (2)数列中各项的符号可通过(-1)成数列2222,…, 所以an=(-1) n+1 1,2,3,4 n+1 表示.每一项绝对值的分子比分母少1,而分母组 2-1 n. 2 n9999999 9992 (3)将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,10- 33331,10-1,10-1,…, 3 4 1n所以an=(10-1). 3 (4)数列的奇数项为-1,-2,-3,…可用-数列的偶数项为1,2,3,…可用表示. 2 n+1 2 表示, nn+1-??2n为奇数 因此a=?n??2n为偶数. n, [规律方法] 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1常用方法:观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法. 2具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用-1处理. 由an与Sn的关系求通项公式 【例1】 (1)若数列{an}的前n项和Sn=3n-2n+1,则数列{an}的通项公式an=________. 21 (2)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________. 33 ??2,n=1, (1)? ?6n-5,n≥2? 2k或-1k+1,k∈N* (2)(-2) n-1 [(1)当n=1时,a1=S1=3×1-2×1+1=2; 2 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上 式. ??2,n=1,故数列的通项公式为an=? ?6n-5,n≥2.? 2121 (2)由Sn=an+,得当n≥2时,Sn-1=an-1+, 333322 两式相减,得an=an-an-1, 33∴当n≥2时,an=-2an-1,即 an=-2. an-1 21 又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1, 33∴an=(-2) n-1 .] [规律方法] 1.已知Sn求an的三个步骤 1先利用a1=S1求出a1; 2用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1n≥2便可求出当n≥2时an的表达式; 3注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. 1利用an=Sn-Sn-12利用Sn-Sn-1=ann≥2转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解; n≥2转化为只含an,an-1的关系式,再求解. n (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3+1,则数列的通项公式an=________. (2)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且Sn=2an+1,则数列的通项公式an=________. ??4,n=1, (1)?n-1 ??2·3,n≥2 (2)-2 nn-1 [(1)当n=1时,a1=S1=3+1=4, n-1 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+1-3显然当n=1时,不满足上式. ??4,n=1,∴an=?n-1 ?2·3,n≥2.? -1=2·3 n-1 . (2)依题意得Sn+1=2an+1+1,Sn=2an+1,两式相减得Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+1=2an,又S1=2a1+1=a1,因此a1=-1,所以数列{an}是以a1=-1为首项、2为公比的等比数列, an=-2n-1.] 由数列的递推关系求通项公式 ?考法1 形如an+1=an+f(n),求an 【例2】 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+3n+2(n∈N),求数列{an}的通项公式. [解] (1)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 = * n3n+1 2 (n≥2). 1 当n=1时,a1=×(3×1+1)=2符合公式, 232n∴an=n+. 22
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