备战2024年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第六篇函数与导数
专题02 利用导数求函数的单调性
类型 求不含参数的极值（或极值点） 求含参数的极值（或极值点） 极值的意义应用 利用极值求参数的值或取值范围 含极值点的不等式证明 求不含参数的最值 求含参数的最值 【典例1】【陕西省渭南市2024届高三二模】已知函数f?x??(Ⅰ)求函数f?x?的极值；
(Ⅱ)若m?n?0,且mn?nm,求证：mn?e2． 【思路引导】
(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数f?x?的极值；(Ⅱ)得到
对应典例 典例1 典例2 典例3 典例4 典例5 典例6 典例7 lnx． xe2lnnn?2?lnn?f?m??f?n?,根据函数的单调性问题转化为证明m??e，即证,令?2nneG?x??e2lnx?2x2?x2lnx?1?x?e?，根据函数的单调性证明即可．
【详解】 (Ⅰ)Qf?x??lnx1?lnx?f?x?的定义域为?0,???且f??x?? 2xx令f??x??0，得0?x?e；令f??x??0，得x?e
?f?x?在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减
?函数f?x?的极大值为f?e??lne1?，无极小值 ee(Ⅱ)Qm?n?0，mn?nm?nlnm?mlnn
?lnmlnn?，即f?m??f?n? mn由(Ⅰ)知f?x?在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减 且f?1??0，则1?n?e?m
222????eee要证mn?e2，即证m??e，即证f?m??f??，即证f?n??f??
n?n??n?即证
lnnn?2?lnn? ?2ne由于1?n?e，即0?lnn?1，即证e2lnn?2n2?n2lnn 令G?x??elnx?2x?xlnx?1?x?e?
222e?x??e?x??e2??e2??4x?2xlnx?x???x??2x?lnx?1???2x?lnx?1? 则G?x??xxx??Q1?x?e?G??x??0恒成立?G?x?在?1,e?递增 ?G?x??G?e??0在x??1,e?恒成立
?mn?e2
【典例2】【2024年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知函数f（x）=R．
（1）当a=?1时，求函数y=f（x）的单调区间； （2）求函数y=f（x）的极值点． 【思路引导】
（1）先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间； （2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况. 【详解】
（1）当a=?1时，f?x??131x?（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈3213x?x2?x．∵f?(x)=x2?2x+1=（x?1）2≥0， 3故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．
（2）∵f(x)=x2?（a2+a+2）x+a2（a+2）=（x?a2）[x?（a+2）]，
?①当a=?1或a=2时，a2=a+2，∵f(x)≥0恒成立，函数为增函数，无极值；
?
②当a＜?1或a＞2时，a2＞a+2，
可得当x∈（?∞，a+2）时，f(x)＞0，函数为增函数；
?当x∈（a+2，a2）时，f(x)＜0，函数为减函数； 当x∈（a2，+∞）时，f(x)＞0，函数为增函数．
当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）． ③当?1＜a＜2时，a2＜a+2．
可得当x∈（-∞，a2）时，f(x)＞0，函数为增函数； 当x∈（a2，a+2）时，f(x)＜0，函数为减函数； 当x∈（a+2，+∞）时，f(x)＞0，函数为增函数．
当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．
综上可得：当a=?1或a=2时，函数无极值点；当a＜?1或a＞2时，函数有极大值点a+2，函数有极小值点a2；当?1＜a＜2时，函数有极大值点a2，函数有极小值点a+2. 【典例3】【广东省2024年汕头市普通高考第一次模拟】已知f(x)?（1）设x??????12x?aex?lnx． 21是f?x?的极值点，求实数a的值，并求f?x?的单调区间： 21（2）a?0时，求证：f?x??．
2【思路引导】
（1）由题意，求得函数的导数f??x??x?ae?x113e，由x?是函数f?x?的极值点，解得a?，又x22e由f???1???0，进而得到函数的单调区间； 2??121x0??x0?lnx0，令2x0（2）由（1），进而得到函数f?x?的单调性和最小值f?x?min?f?x0??g?x??121x??x?lnx,(0?x?1)，利用导数求得g?x?在?0,1?上的单调性，即可作出证明. 2x【详解】
（1）由题意，函数f?x?的定义域为?0,???，
高考数学专题03 利用导数求函数的极值、最值(第六篇)(解析版)
