矩阵秩方法在广义逆中的应用 

矩阵秩方法在广义逆中的应用

黄旭

【摘 要】摘要：矩阵秩方法是矩阵理论中一种独特的方法，它往往能独辟蹊径，化繁为简，在矩阵理论有着重要的地位。讨论了矩阵秩方法在广义逆中的一些简单应用。

【期刊名称】佛山科学技术学院学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(000)005 【总页数】3

【关键词】广义逆；矩阵秩；Schur补

1 预备知识

定义1一个矩阵A∈Cn×n称为Hermitian矩阵，若它的共轭转置等于它自身，即A*=A。

定义2对于一个m×n的矩阵A，若存在一个n×m的矩阵G，使得：1）AGA=A；2）GAG=G；3）（AG）T=AG；4）（GA）T=GA。则称G为A的Moore-Penrose逆，简称M-P逆，记作A+。

定义3设A∈Cn×n，矩阵X称为A的群逆，如果A满足r（A）=r（A2）且满足如下矩阵方程：1）AXA= A；2）XAX=X；3）AX=XA。我们记A的群逆为A#。其中r（）表示矩阵的秩。

下面给出一些关于矩阵秩常用的一些结论。

引理1［1-2］设A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n，D∈Cl×k，则

引理2［3］设A∈Cn×n，则r（A）+r（A-A3）=r（A+A2）+r（A-A2），从而A=A3当且仅当

证明由矩阵块高斯消元法有

2 主要结论

定理1设A∈Cn×n，则A+=A的充要条件是r（A）=r（A+A2）+r（A-A2）且A2是Hermitian矩阵。

证明?当A+=A时，A2=AA+=（AA+）*=（A2）*，从而A2是Hermitian矩阵。由引理3知A=A3?r（A）= r（A+A2）+r（A-A2），所以A3=AAA=AA+A=A。

?因为A=A3?r（A）=r（A+A2）+r（A-A2），所以A3=A，所以定义2中1）、2）成立。因为A2=（A2）*，所以定义2中3）、4）成立，故命题得证。 定理2设A∈Cn×n，A#存在，则A=A#的充要条件是r（A）=r（A+A2）+r（A-A2）。

证明?A3=AAA=AA#A=A，而A=A3?r（A）=r（A+A2）+r（A-A2），得证。

?由r（A）=r（A+A2）+r（A-A2）得到A3=A，从而定义3中1）、2）、3）成立，因为r（A2）≤r（A）=r（A3）≤r（A2），所以r（A）=r（A2），得证。 Campbell等［5］利用投影算子的理论得到了（AB）+=B+A+的一些充要条件，下面利用矩阵秩的方法给出证明。

定理3［5-6］设A∈Cm×n，B∈Cn×p，则下面几个条件是等价的： （1）BB*A+A=A+ABB*，A*ABB+=BB+A*A；

（2）R（A*）是BB*的不变子空间且R（B）是AA*的不变子空间； （3）A+ABB*A*=BB*A*且BB+A*AB=A*AB； （4）A+AB=B（AB）+AB，ABB+=AB（AB）+A。

证明文献［6］已经给出（1）?（2）?（3）的证明，下面给出（2）?（4）的证明。

由引理3式（7）得

A+AB=B（AB）+AB?r（A+AB-B（AB）+AB）=0?r（A*AB）=r（AB）?R（A*AB）=R（AB）?R（B），所以A+AB= B（AB）+AB?R（B）是AA*的不变子空间。

同理可证ABB+=AB（AB）+A?R（A*）是BB*的不变子空间，故（2）?（4）。

推论（1）设A∈Cm×n，B∈Cn×p，则AB=0的充要条件是B+A+=0； （2）设A∈Cn×m，B∈Cn×p，则A+B=0的充要条件是A*B=0。

证明（1）由文献［5］有（AB）+=（A+AB）+（AAB+）+，从而AB=0?B+A+=0。

（2）因为A+=（A*A）+A*，所以A+B=（A*A）+A*B，从而A+B=0?A*B=0。

定理4设A∈Cn×n，则下列命题等价： （1）AA*=A*A； （2）AA*A+=A+AA*；

（3）A（AA*A+）+=（AA*A+）+A。 证明先证（1）?（2）。由引理3式（7）得

再证（1）?（3）。设M=AA*A，由引理3式（7）得 参考文献：

［1］TIAN Yongge.Mixed-type reverse order law for products of three

operators［J］.Linear Algebra and its Applications,2011,435: 2658-2673. ［2］CHEN Shizheng,TIAN Yongge.Two sets of new characterizations for normal

and

EP

matrices［J］.Linear

Algebra

and

its

Applications,2003,375:181-195.

［3］MARSAGLIA G,STYAN G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices［J］.Linear and Multilinear Algebra,1974,2: 269-292.

［4］TIAN Yongge.Using rank formulas to characterize equalities for Moore- Penrose inverses of matrix products［J］.Applied Mathematics and Computation,2004,147:581-600.

［5］CAMPBELL S L,MEYER C D.Generalized Inverses of Linear Transformations［M］.New York:Dover Publ.Inc.,1991.

［6］黄旭,刘丁酉.Moore-penrose逆交换性的秩方法［J］.湖北民族学院学报:自然科学版,2010（2）:124-126.

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