矩阵秩方法在广义逆中的应用
黄旭
【摘 要】摘要:矩阵秩方法是矩阵理论中一种独特的方法,它往往能独辟蹊径,化繁为简,在矩阵理论有着重要的地位。讨论了矩阵秩方法在广义逆中的一些简单应用。
【期刊名称】佛山科学技术学院学报(自然科学版) 【年(卷),期】2015(000)005 【总页数】3
【关键词】广义逆;矩阵秩;Schur补
1 预备知识
定义1一个矩阵A∈Cn×n称为Hermitian矩阵,若它的共轭转置等于它自身,即A*=A。
定义2对于一个m×n的矩阵A,若存在一个n×m的矩阵G,使得:1)AGA=A;2)GAG=G;3)(AG)T=AG;4)(GA)T=GA。则称G为A的Moore-Penrose逆,简称M-P逆,记作A+。
定义3设A∈Cn×n,矩阵X称为A的群逆,如果A满足r(A)=r(A2)且满足如下矩阵方程:1)AXA= A;2)XAX=X;3)AX=XA。我们记A的群逆为A#。其中r()表示矩阵的秩。
下面给出一些关于矩阵秩常用的一些结论。
引理1[1-2]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,则
引理2[3]设A∈Cn×n,则r(A)+r(A-A3)=r(A+A2)+r(A-A2),从而A=A3当且仅当
证明由矩阵块高斯消元法有
2 主要结论
定理1设A∈Cn×n,则A+=A的充要条件是r(A)=r(A+A2)+r(A-A2)且A2是Hermitian矩阵。
证明?当A+=A时,A2=AA+=(AA+)*=(A2)*,从而A2是Hermitian矩阵。由引理3知A=A3?r(A)= r(A+A2)+r(A-A2),所以A3=AAA=AA+A=A。
?因为A=A3?r(A)=r(A+A2)+r(A-A2),所以A3=A,所以定义2中1)、2)成立。因为A2=(A2)*,所以定义2中3)、4)成立,故命题得证。 定理2设A∈Cn×n,A#存在,则A=A#的充要条件是r(A)=r(A+A2)+r(A-A2)。
证明?A3=AAA=AA#A=A,而A=A3?r(A)=r(A+A2)+r(A-A2),得证。
?由r(A)=r(A+A2)+r(A-A2)得到A3=A,从而定义3中1)、2)、3)成立,因为r(A2)≤r(A)=r(A3)≤r(A2),所以r(A)=r(A2),得证。 Campbell等[5]利用投影算子的理论得到了(AB)+=B+A+的一些充要条件,下面利用矩阵秩的方法给出证明。
定理3[5-6]设A∈Cm×n,B∈Cn×p,则下面几个条件是等价的: (1)BB*A+A=A+ABB*,A*ABB+=BB+A*A;
(2)R(A*)是BB*的不变子空间且R(B)是AA*的不变子空间; (3)A+ABB*A*=BB*A*且BB+A*AB=A*AB; (4)A+AB=B(AB)+AB,ABB+=AB(AB)+A。
证明文献[6]已经给出(1)?(2)?(3)的证明,下面给出(2)?(4)的证明。
由引理3式(7)得
A+AB=B(AB)+AB?r(A+AB-B(AB)+AB)=0?r(A*AB)=r(AB)?R(A*AB)=R(AB)?R(B),所以A+AB= B(AB)+AB?R(B)是AA*的不变子空间。
同理可证ABB+=AB(AB)+A?R(A*)是BB*的不变子空间,故(2)?(4)。
推论(1)设A∈Cm×n,B∈Cn×p,则AB=0的充要条件是B+A+=0; (2)设A∈Cn×m,B∈Cn×p,则A+B=0的充要条件是A*B=0。
证明(1)由文献[5]有(AB)+=(A+AB)+(AAB+)+,从而AB=0?B+A+=0。
(2)因为A+=(A*A)+A*,所以A+B=(A*A)+A*B,从而A+B=0?A*B=0。
定理4设A∈Cn×n,则下列命题等价: (1)AA*=A*A; (2)AA*A+=A+AA*;
(3)A(AA*A+)+=(AA*A+)+A。 证明先证(1)?(2)。由引理3式(7)得
再证(1)?(3)。设M=AA*A,由引理3式(7)得 参考文献:
[1]TIAN Yongge.Mixed-type reverse order law for products of three
operators[J].Linear Algebra and its Applications,2011,435: 2658-2673. [2]CHEN Shizheng,TIAN Yongge.Two sets of new characterizations for normal
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EP
matrices[J].Linear
Algebra
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[3]MARSAGLIA G,STYAN G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,1974,2: 269-292.
[4]TIAN Yongge.Using rank formulas to characterize equalities for Moore- Penrose inverses of matrix products[J].Applied Mathematics and Computation,2004,147:581-600.
[5]CAMPBELL S L,MEYER C D.Generalized Inverses of Linear Transformations[M].New York:Dover Publ.Inc.,1991.
[6]黄旭,刘丁酉.Moore-penrose逆交换性的秩方法[J].湖北民族学院学报:自然科学版,2010(2):124-126.
【责任编辑:王桂珍foshanwgzh@163.com】
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