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1． 3二项式定理
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．在x?3的展开式中，x的系数为
6 A．?27C10??106 （ ）
4 B．27C106C．?9C10
4D．9C10
2． 已知a?b?0,b?4a， ?a?b?n的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相
等，那么正整数n等于
A．4 B．9
C．10
D．11
（ ）
3．已知（a?13a2)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）
D．13 D．7
D．1.34
A．10 B．11 C．12 10
4．53被8除的余数是 A．1 B．2 C．3
6
5． (1.05)的计算结果精确到0.01的近似值是
A．1.23 B．1.24 C．1.33
n（ ） （ ）
1?6．二项式??2x?4? (n?N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开
x??式有理项的项数是
A．1 B．2
1312
C．3 D．4
（ ）
7．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若t+h=272，则展
开式的x项的系数是 A．1
258．在(1?x?x)的展开式中x的系数为 26n2
（ ） B．1
C．2
D．3 D．7
（ ） A．4 9．(31xB．5 C．6
n展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是 ?51x)
A．330
B．462
C．680
D．790
（ ）
45410．(x?1)(x?1)的展开式中，x的系数为
（ ）
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A．－40
n
B．10 C．40 D．45
11．二项式(1+sinx)的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为
则x在[0，2π]内的值为
A．
C．
4
5，2 （ ）
???5?或 B．或
66365
6
7
?2??5?或 D．或
363312．在(1+x)+(1+x)+(1+x)的展开式中,含x项的系数是等差数列 an=3n－5的 （ ）
A．第2项
B．第11项 C．第20项 D．第24项
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．(x?219)展开式中x9的系数是 . 2x14．若2x?33??4?a0?a1x?????a4x4，则?a0?a2?a4?2??a1?a3?2的值为__________.
15．若 (x?x)的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 .
16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：
①展开式中T1000= －C19991000x999； ②展开式中非常数项的系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x=2000时，(1-x)
1999?2n除以2000的余数是1．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若(6x?16x)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
（１） 求n的值；
（２）此展开式中是否有常数项，为什么？
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18．（12分）已知(
1?2x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式4系数最大的项的系数．
12nn19．（12分）是否存在等差数列?an?，使a1C0对任n?a2Cn?a3Cn?????an?1Cn?n?2意n?N*都成立？若存在，求出数列?an?的通项公式；若不存在，请说明理由． 20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占
有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
mn
21. （12分）设f(x)=(1+x)+(1+x)(m、n?N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为
2
11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x项的系数取最小值，并求出这个最小值.
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22．（14分）规定Cx?mmx(x?1)?(x?m?1)0，其中x∈R，m是正整数，且Cx?1，这是
m!组合数Cn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广． (1) 求C?15的值；
3Cx3(2) 设x>０，当x为何值时，(C1)2取得最小值？
x(3) 组合数的两个性质；
mn?mmm?1m①Cn?Cn. ②Cn?Cn?Cn?1.
是否都能推广到Cx（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式
m并给出证明；若不能，则说明理由.
参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．C
13．解：Cn2/Cn?11/2，n?12．
122335．解：(1.05)=?1?0.05?6?C0 6?C6?0.05?C6?0.05?C6?0.05????6
=1+0.3+0.0375+0.0025+…?1.34．
r6．解：Tr?1?28?rC8x16?3r4，r=0,1,…,8. 设16?3r?k，得满足条件的整数对(r,k) 只有
48?r6(0,4),(4,1),(8,-2).
7．解：由4n?2n?272,得2n?16，n=4,Tr?1?34?rCr4x26, 取r=4.
8．解：设(1?x?x)=1?(x?x2)2的展开式的通项为Tr?1, 则
rTr?1?C6(x?x2)r(r=0,1,2,…,6). 二项式(x?x)展开式的通项??62r为 匠心办公文档系列 4
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tn?1?(?1)nCrnxr?n(x2)n?(?1)nCrnxr?n(n=0,1,2,…,r) (1?x?x2)6的展开式的通项公式为Tr?1??(?1)nC6rCrnxr?n, n?0r令r+n=5,则n=5-r?0,0?r?6,0?n?r.r=3,4,5,n=2,1,0.
324150(1?x?x2)6展开式中含x5项的系数为: (?1)2C6C3?(?1)C6C4?(?1)0C6C5?6.
9．解：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x =1 即得所有项系数之和，
65
2n?1?1024?210,?n?11.各项的系数为二项式系数，故系统最大值为C11或C11，
为462．
10．解：(x?1)4(x?1)5=(x?1)4(x?1)4(x?1)4(x?1)?(x?1)5(x?1)4 25=(x?1)(x?2x?1)=(x?1)5(x2?4xx?6x?4x?1) 1x4的系数为C53(?1)3?C52?6?C5(?1)?45.
二、填空题 13．?2164； 14．1； 15．T7?C10?C10=210； 16．①④． 2三、解答题 17．解：（１）n = 7 （6分）（２）无常数项（6分）
12 18．解：由Cn0?Cn，得n?8．（8分）?Cn?37,(3 分)得1?n?1n(n?1)?37（5分）
2T5?C841355，该项的系数最大，为．535（12分） (2x)?x54161619．解：假设存在等差数列
an?a1?(n?1)d满足要求（2分）
1n12n（4分）12naC0a1C0n?Cn?????Cn?dCn?2Cn?????nCnn?a2Cn?a3Cn?????an?1Cn?1????1n?1nn?1=a1?2n?ndC0（8分） n?1?Cn?1?????Cn?1?a1?2?nd?2?? 依题意a1?2n?nd?2n?1?n?2n，2a1?n?d?2??0对n?N*恒成立，（10分）?a1?0,d?2,
所求的等差数列存在，其通项公式为an?2(n?1)．（12分）
20．解：设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，（2分）依题意
m??1?22%??104?10xp??1?1%?化简：
3?10??m?10p4?1?10%?,（6分）
?1.1??1?0.01?10?（8分）
x?10??1??1.22?? 匠心办公文档系列 5
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1.1??（10分） 22?103?1?1?C110?0.01?C10?0.01??????1.22???1.1???103?1??1.1045??4.1,
?1.22??x?4（亩）
答：耕地平均每年至多只能减少4亩．（12分）
121．解：展开式中，关于x的一次项系数为C1（3分）关于x的二次项系数m?Cn?m?n?11,221为C2，（8分）当n=5或6时，含x项的系数m?Cn?2?m?m?1??n?n?1???n?11n?552
取最小值25，此时m=6,n=5或 m=5,n=6. （12分） 22．解：(1)C3?(?15)(?16)(?17)??680 . （4分）
?153!(2)
3Cxx(x?1)(x?2)12 . （6??(x??3)122(Cx)6x6x分） ∵ x > 0 , x?2?22 .
x3Cx当且仅当x?2时，等号成立. ∴ 当x?2时，12取得最小值. （8分）
(Cx)（3）性质①不能推广，例如当x?2时，C12有定义，但C2?1无意义; （102分）
性质②能推广，它的推广形式是Cxm?Cxm?1?Cxm?1，x?R , m是正整数. （12分）
01事实上，当m＝１时，有C1. x?Cx?x?1?Cx?1 当m≥２时.Cm?Cm?1?x(x?1)?(x?m?1)?x(x?1)?(x?m?2)
xxm!(m?1)!m ?x(x?1)?(x?m?2)?x?m?1?1??x(x?1)?(x?m?2)(x?1)?Cx?1．（14分）
??(m?1)!?m?m!
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新人教A版选修[2-3]第1章《计数原理》同步练习 1.3二项式定理（含答案）
