20.01?0.69432?10?12?10解：①Gt???0.1m S21???4.9?10?24m2 2222?311l0.14?n?2??F4?3.14?1.76?4?10?2?10G0.1?nt?t??2?10?22m?3 ?24S214.9?10?②??Gm??n?1.2 ??T???H??1?2?105?1.2?1?8.94?104MHz
Gt?ntc3?108??543MHz L??L?(n?1)l?20?(1.76?1)?10?27.6cm ??q??2L2?0.276?q?[
??T89400?1]?[?1]?165 ??q543 习题五
?1?0n1n2?? ???(1) 证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的平面界面对入射旁轴光线的变换矩阵为 T????0证：由折射定律 n1sin?1?n2sin?2 近轴条件 n1?1?n2?2
r2?r1
?1n1 即 ??2??1T??0n2??0n1n2?? ???n1 n2 ?2 ?1 r1 ,r2
(2) 证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的球面界面对入射旁轴光线的变换矩阵为 T??n2?n1???n2R?10n1n2?2 ?? ???证： n1i1?n2i2
??i1??1 ??i2??2
???2???i2?r2?r1
i2 i1 ?1 ? r1,r2 r1 Rr1rnrnrnrn?n1n?i2?1?1i1?1?1(???1)?1?1(1??1)?2r1?1?1 RRn2Rn2Rn2Rn2Rn2?1n2?n1n1 即 ??2?r1??1T??n2?n1n2Rn2?nR?20n1n2?? ???
AB?，并证明这两种情况（3）分别按图(a)、(b)中的往返顺序，推导旁轴光线往返一周的光学变换矩阵????C?D??下的1(A?D)相等。 2
② (a) (b)
③ ④ L ① ② ① ③ L ④ 解： T?T4T3T2T1
(a) T??2???10?1L?1??2???????1?01????R2?0?1L??AB? ???????CD??1??01??????2?R14L4L4L2L 4L24L2L A?D????2 A?1?D????1RRRRR2R1R2R1R21212(b) T??2???10?1L?1??2??????1??01????R1?0?1L??AB? ???????CD??1??01??????2?R22L 4L24L2L A?D?4L?4L?4L?2
A?1?D????1R1R2R1R2R1R1R2R2R1
(4)利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意旁轴光线在其中可往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。 证： 共焦腔 R1=R2=L g1=g2=0
?10?， 往返两周的传递矩阵2?10? 往返一周的传递矩阵T???T???0?1???01??????
习题七
(1) 平凹腔中凹面镜曲率半径为R，腔长L=0.2R，光波长为?，求由此平凹腔激发的基模高斯光束的腰斑
半径。 解： f2?L(R?L)?0.2R(R?0.2R)?0.16R2 f?0.4R w0?f???0.4R?
?
(2) 对称双凹腔长为L，反射镜曲率半径R=2.5L，光波长为?，求镜面上的基模光斑半径。 解： f2?L(2R?L)?L(2?2.5L?L)?L2 f?L w0?44L?2?1?2?L z2
?w?w01?2??ff?镜面处坐标为?L2，镜面光斑：ws?w0f2?LL2?L515?L ?1?2???4L?42?
(3) 稳定双凹球面腔腔长L=1m，两个反射镜曲率半径分别为R1=1.5m、R2=3m。求它的等价共焦腔腔长，
并画出它的位置。
2222解： z?f??R z1?f??1.5 z1?f??1.5z1 11z1z12f2f22z2??R2 z2??3 z2?f?3z2
z2z2z z2?z1?L z2?z1?1 z2?z1?1
2 -1.5z1?z12?3(z1?1)?(z1?1)2?3z1?3?z12-2z1?1 -1.5z1?z12?3z2?z2z1??0.8 z2?0.2 f2??1.5z1?z12?1.5?0.8?0.82?0.56 f?0.7 5
R1 R2 (4) 有一个凹凸腔，腔长L=30cm，两个反射镜的曲率半径大小分别为R1=
50cm、R2=30cm，如图所示，使用He-Ne做激光工作物质。①利用稳定性
L 条件证明此腔为稳定腔 ②此腔产生的高斯光束焦参数 ③此腔产生的高斯
光束的腰斑半径及腰位置 ④此腔产生的高斯光束的远场发散角
L30L30解：①g1?1??1??0.4 g2?1??1??2 g1g2?0.4?2?0.8 满足稳定条件0 R150R2?3022② z?f??50 z2?f??30 z2?z1?30 z1??45cm z2??15cm f?15cm 1z2z1?815?6328?10③w0???0.0174cm,腰在R2镜右方15cm处 ?3.14?82?2?6328?10④????2.315?10?3rad ?w03.14?0.0174f? (5) 有一个平凹腔，凹面镜曲率半径R=5m，腔长L=1m，光波长?=0.5?m，求①两镜面上的基模光斑半径 ②基模高斯光束的远场发散角 ?62?0.5?10解：① f?L(R?L)?1?(5?1)?4 f?2m w0???0.56mm ?3.14平面镜坐标: z1=0, 凹面镜坐标: z2=L=1m 2f?平面镜光斑: ws1=w0=0.56mm, 凹面镜光斑: ws2?w0?6②??2??2?0.5?10?5.68?10?4rad ?3?w03.14?0.56?102z211?2?0.56?1??0.626mm 4f (6) 求方形镜共焦腔镜面上的TEM30模的节线位置（以w0s为参数） 1623122u(x,y)?c(x?x)e解：303w0sw0s令 ?x2?y22w0s 16231221622 x?x?0(x?122)x?0 x1=0 32w0sw0sw0s423216222x?3?0x?w0s x2,3??3w0s x?122?032w0s42w0s 习题八 (1) 某激光器（?=0.9?m）采用平凹腔，腔长L=1m，凹面镜曲率半径R=2m。求①它产生的基模高斯光束 的腰斑半径及腰位置②它产生的基模高斯光束的焦参数③它产生的基模高斯光束的远场发散角 解： ①f2?L(R?L)?1?(2?1)?1 f?1m w0?1?0.9?10?6??0.535mm，腰在平面镜处 ?3.14f?② f=1m ?6③ ??2??2?0.9?10?1.07?10?3rad ?3?w03.14?0.535?10 (2) 某高斯光束的腰斑半径w0=1.14mm，光波长?=10.6?m，求与腰斑相距z=30cm处的光斑半径及等相位 曲率半径。 解： f??w0?3.14?1.14?385mm ?10.6?10?322w(z)?w0f23852z23002?300??794mm 1?2?1.14?1??1.445mm R(z)?z?2z300f385 (3) 某高斯光束的腰斑半径w0=0.3mm，光波长?=0.6328?m，求腰处、与腰相距30cm处的q参数 解：f??w0?3.14?0.3?447mm q0=if=447i (mm), q(z)=z+if=?300+447i (mm) ?0.6328?10?3 (4) 某高斯光束的腰斑半径为w0=1.2mm，光波长?=10.6?m，今用焦距F=2cm的透镜对它进行聚焦。设光 腰到透镜的距离分别为10m及0m时，求聚焦后的腰斑半径及其位置。 解：f??w0?3.14?1.2?427mm ?10.6?10?3腰到透镜距离为l=0m时: w?0?w0f21?2FFw022222?1.242721?2022?0.056mm ?l?F20 ??19.9mm22F201?21?f4272 腰到透镜距离为l=10m时: w??0f?(l?F)?20?1.2427?(10000?20)22?2.4?10?3mm 22 l??l(l-F)?fF?10000?(10000?20)?427?20?20.04mm 2222(l?F)?f(10000?20)?427 R1=1m R2=? (5) 两个He-Ne激光器都采用平凹腔，它们的尺 寸与相对位置如图所示，问在何处插入一个焦距 为多大的透镜，可使这两个激光器所激发的高斯 光束之间实现匹配？ 解： f2?L(R?L)?30?(100?30)?2100 f?45.8c mL=30cm f?2?L?(R??L?)?25?(50?25)?625 f??25cm ?l0?50?25?75cm A?w0?w0??w0w0f?f?f??f45.825??2.092 52545.8R?1=50cm R?2=? D=50cm L?=25cm f0?F?ff??45.8?25?33.83cm A(A2?4)f02?l02?2l0A2?4w0F2?f02?F??w0?w0F2?f02?F?w02.0925?(2.09252?4)?33.832?752?2?75??34cm 22.0925?4f45.8F2?f02?34??342?33.832?34?4.5cm f?25f?25F2?f02?34??342?33.832?34?2.45cm f45.8l?F?l??F?透镜焦距F=34cm, 置于距R2镜、R?2镜距离分别为 l=38.5cm , l?=36.45cm 若取l=34.4-4.5=29.5cm , l?=34-2.45=31.55cm, 则l+l??l0 , 舍去。 F (6) 激光器使用腔长为L的半共焦腔，凹面镜为输出镜，光波 长为?，现在距离输出镜为L的地方放置一个焦距F=L的透镜， 用q参数求出经透镜变换后的高斯光束腰斑半径与腰位置。 解：由半共焦腔特点知R=2L，f?L(R?L)?L(2L?L)?L L L 平面镜处q参数：q1=if=iL, 透镜处未变化前的q参数：q2=iL+2L=L(2+i) 2透镜处变化后的q参数：q?Fq2?L(2?i)?2?iL?(2?i)(?1?i)L??3?iL 3F?q2L?L(2?i)?1?i22l?=1.5L, f?=0.5L, 腰半径为 w?0??f????0.5L??L, 腰在透镜右方1.5L处 ??2? (7) 用两个凹面镜构成双凹谐振腔，两镜半径分别为R1=1m、R2=2m，腔长L=0.5m，求如何选择高斯光束 的腰斑半径及腰位置，才可以使之成为腔中的自再现光束？（设光波长?=10.6?m） 22解： z?f??R z?f??1 111z1z12ff2z2??R2 z2??2 z2z2z2?z1?L z2?z1?0.5 解出 z1=-0.375m, z2=0.125m, f=0.484m ?f10.6?10?6?0.484w0???1.28mm 腰在R1镜右方37.5cm处 ?3.14
激光原理与激光技术习题答案
