高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性
一、选择题
1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )
A．y＝2 C．y＝2－2
x－xx B．y＝2 D．y＝2＋2
x－x|x|
解析：选C A中函数是非奇非偶函数，B、D中函数是偶函数，对于选项C，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.
2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( ) A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数 B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数 C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数 D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
?1??1?解析：选B 因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f??＝f?－?，则 ?2??2?
(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x)，因为x∈(0,1)时，
2
y＝1－x2是减函数，故f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.
3．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则( ) 11A.－>0
xy B．sin x－sin y>0 D．ln x＋ln y>0
?1?x?1?yC.??－??<0 ?2??2?
1
解析：选C A项，考查的是反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，
x11
所以－<0，所以A错误；B项，考查的是三角函数y＝sin x在(0，＋∞)上的单调性，yxy＝sin x在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x>sin y，所以B错误；C项，考查的是
?1?x?1?x?1?y?1?x?1?y指数函数y＝??在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，所以有??
?2??2??2??2??2?
所以C正确；D项，考查的是对数函数y＝ln x的性质，ln x＋ln y＝ln xy，当x>y>0时，
xy>0，不一定有ln xy>0，所以D错误．
4．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x－1；当－1≤x≤11?1??1?时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f?x＋?＝f?x－?，则f(6)＝( )
2?2??2?
A．－2 C．0
B．－1 D．2
3
1
解析：选D 由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，
2所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
5．(2017·湖南联考)已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，
3
?2π?，b＝f?cos5π?，c＝f?tan5π?，则a，b，c的大小关系为( )
若a＝f?sin??7?7?7???????
A．b B．c π5π3π5π5π2π5π5π 解析：选B ∵<<，∴tan<－1 7上的增函数，∴c 6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋ cos x，如果f(1－a)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围为( ) A．(0,1) C．(－2，－2) B．(1，2) D．(1，2)∪(－2，－1) 2 解析：选B 依题意得f′(x)>0，则f(x)是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f(1－－1<1－a<1，?? a)＋f(1－a2)<0等价于f(1－a2)<－f(1－a)＝f(a－1)，则有?－1 ??1－a2 2 解得 ?a 7．定义运算? ?c A．(－2，＋∞) C．(－∞，－2) 解析：选D ∵? b? ?x－1 2? ?＝ad－bc，若函数f(x)＝??在(－∞，m)上单调递减，d??－x x＋3? B．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 则实数m的取值范围是( ) ?a ?c b? ?x－1 2? ?＝ad－bc，∴f(x)＝??＝(x－1)(x＋3)－2×(－x)＝d??－x x＋3? x2＋4x－3＝(x＋2)2－7， ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f(x)在(－∞，m)上单调递减， ∴(－∞，m)?(－∞，－2)，即m≤－2.故选D. 8．(2016·广州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，1x且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2＋，则f(log220)＝( ) 5 A．1 C．－1 4 B. 54 D．－ 5 解析：选C 因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数的周期为4. 5??所以f(log220)＝f(log220－4)＝f?log2? 4??5?4?41????＝－f?－log2?＝－f?log2?＝－?2log2＋? 4?5?55???? ?41?＝－?＋?＝－1，故选C. ?55? 二、填空题 9．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2 |a－1| )＞f(－2)，则a的取值范围是________． 解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)， ∴f(2 |a－1| )＞f(2)，∴2 |a－1| 1 ＜2＝2， 2 11113 ∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜. 22222 ?13?答案：?，? ?22? 10．(2016·四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1 ?5?x时，f(x)＝4，则f?－?＋f(1)＝________. ?2? 解析：∵f(x)为奇函数，周期为2， ∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0. ∵f(x)＝4，x∈(0,1)， x?5??5??1??1?∴f?－?＝f?－＋2?＝f?－?＝－f??＝－42＝－2. ?2??2??2??2??5?∴f?－?＋f(1)＝－2. ?2? 答案：－2 111．(2017·江苏调研)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x＋x＋1，则当 3 x<0时，f(x)的解析式为________________． 解析：设x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x＋x＋1，所以f(－x)＝－x－x＋1.又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝－x－x＋1. 答案：f(x)＝－x－x＋1 12．(2017·台州模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－ ??x，x≤0， x)，函数f(x)＝? ?gx，x>0，? 3 3 3 3 3 若f(2－x)>f(x)，则实数x的取值范围是________． 2 解析：设x>0，则－x<0. ∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)， ∴g(－x)＝－ln(1＋x)． 又∵g(x)是奇函数， ∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)， ??x，x≤0， ∴f(x)＝? ?ln1＋x，x>0.? 3 其图象如图所示． 由图象知，函数f(x)在R上是增函数． ∵f(2－x)>f(x)， ∴2－x>x，即－2 所以实数x的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题 13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log1x. 22 2 (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x－1)>－2. 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log1(－x)． 22 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以函数f(x)的解析式为 logx，x>0，??f(x)＝?0，x＝0，??log－x，x<0. 2121 (2)因为f(4)＝log14＝－2，f(x)是偶函数， 2所以不等式f(x－1)>－2可化为f(|x－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x－1|<4，解得－5 14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x2 ∈(0,1)时，f(x)＝x. 4＋1 (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)． ∵f(x)是奇函数， 2 ∴f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－x. 4＋14＋1由f(0)＝f(－0)＝－f(0)， 且f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)， 得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0. 0，1， ??2∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝?－，x∈－1，0 4＋1??0，x∈{－1，0，1}. xxx2 22 2 －xx2 ，x∈x4＋1 x， ， 2 (2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)＝x，设0 4＋12x12x2 则f(x1)－f(x2)＝－＝ 4x1＋14x2＋1 2x2－2x1 4x1＋1 2x1＋x2－14x2＋1 x∵0
2024年高考数学总复习(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 含答案
