第 十 一 章 反 常 积 分
§1 反常积分概念
一 问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制 , 考虑无 穷区 间上的“ 积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题 .
例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v0 至少要多大 ?
设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R) 处火箭所受的引力为
mg R
F =
.
2
x2
于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为
2
∫ R
r
mg R
d x = mg R
2
1- 1 R
r
.
x
2
当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:
+ ∞
图 11 - 1
∫
R
mg R2
r
mgR
2
d x = lim x
2
∫
d x = mg R .
r → + ∞ R
x
最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v0 至少应使
2
1 2
2
6
2
mv0 = mg R .
用 g = 9 .81 ( m6s/) , R = 6 .371× 10( m) 代入 , 便得
v0 =
2 g R ≈ 11 .2( km6s/) .
例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?
§1 反常积分概念
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从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为
v =
其中 g 为重力加速度 .
设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为 d x , 它们之间应满足
πR2 d x = vπr2 d t ,
2 g( h - x) ,
图 11 - 2
由此则有
d t =
R 2 2
d x , x ∈ [0 , h] . r
2 g( h - x )
所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:
tf =
∫ 0
h
r
2
R2
d x .
2 g( h - x)
但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是
u
2
tf = lim
∫ 0
-
R
2 d x
-
u → h
r 2 2 g( h - x)
2
= lim
R ·g r2 h - h - u
u → h
=
2 h R g r 2
.
相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .
二 两类反常积分的定义
定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u] 上可积 .如果存在极限
lim
f ( x) d x = J, ∫
u
( 1)
u→ + ∞ a
则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作
J =
+ ∞
∫ f ( x) d x ,
a
+ ∞
+ ∞
( 1′)
并称
∫ f ( x) d x 收 ∫敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d x
a
a
发散 .
类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :
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第十一章 反 常 积 分
∫ f ( x )d x = lim∫f ( x) d x .
b
b
- ∞
( 2)
u → - ∞ u
对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x ,
- ∞
- ∞
a
+ ∞ a
+ ∞
( 3)
其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .
注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .
注 3
∫ f ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在
a
+ ∞
[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线
y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延 伸的阴影区域有面积 J .
例 3 讨论无穷积分
+ ∞
∫
d x
1
图 11 - 3
的收敛性 .
解 由于
x
p
( 4)
∫
1
u
d x x
p
1 1
- 1 ) , ( u
- p 1 - p
=
ln u ,
1
p ≠ 1 ,
p = 1 ,
u → + ∞ 1
lim
∫
u
d x
=
x
p
数学分析华东师大第十一章反常积分
