考研数学二试题及答案解
析
This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3(1) 函数f?x??的可去间断点的个数为
sin?x?A? 1 ?B? 2 ?C? 3 ?D? 无穷多个 【答案】C
x?x3【解析】由于f?x??,则当x取任何整数时,f?x?均无意义.
sin?x故f?x?的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x?x3?0的解
x1,2,3?0,?1.
故可去间断点为3个,即0,?1.
(2) 当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小,则 【答案】A 【解析】 limx?0f(x)x?sinaxx?sinax?lim2?lim2 g(x)x?0xln(1?bx)x?0x?(?bx)?a3??6b,故排除B,C.
1?acosax存在,蕴含了1?acosax?0?x?0?,故a?1.排除D.
x?0?3bx2所以本题选A.
另外,lim(3) 设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy,则点?0,0?
?A? 不是f?x,y?的连续点 ?B? 不是f?x,y?的极值点
?C? 是f?x,y?的极大值点 ?D? 是f?x,y?的极小值点 【答案】D
【解析】因dz?xdx?ydy可得
?z?z?x,?y. ?x?y?2z?2z?2z?2zA?2?1,?B???0,?C?2?1,
?x?x?y?y?x?y又在?0,0?处,
?z?z?0,?0,AC?B2?1?0, ?x?y故?0,0?为函数z?f(x,y)的一个极小值点. (4) 设函数f?x,y?连续,则?dx?f?x,y?dy??dy?1x12224?yy2f?x,y?dx?
2y?C? ?1dy?1C
2224?yf?x,y?dx
22
?D??dy?f?x,y?dx 【答案】
1【解析】?dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx的积分区域为两部分：
1x1xD1??(x,y)1?x?2,x?y?2?,D2??(x,y)1?y?2,y?x?4?y?,
将其写成一块D??(x,y)1?y?2,1?x?4?y?, 故二重积分可以表示为?dy?124?y1f(x,y)dx,故答案为C.
(5) 若f???x?不变号,且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x2?y2?2,则函数f?x?在区间?1,2?内
?A? 有极值点,无零点 ?C? 有极值点,有零点
案】B
?B? 无极值点,有零点
?D? 无极值点,无零点 【答
【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f??(x)?0,且在点(1,1)处的曲率
??|y??|(1?(y?))322?1,而f?(1)??1,由此可得,f??(1)??2. 2在[1,?2]上,f?(x)?f?(1)??1?0,即f(x)单调减少,没有极值点. 对于f(2)?f(1)?f?(?)??1?????(1,?2),(拉格朗日中值定理)
????f(2)?0而f(1)?1?0,由零点定理知,在[1,?2]上,f(x)有零点.故应选B.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为： 则函数F?x???f?t?dt的图形为
0x【答案】D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、x?x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：
①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减。 ②x??1,2?时，F(x)单调递增。 ③x??2,3?时，F(x)为常函数。
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D。
（7）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块
?OA?矩阵??的伴随矩阵为
?BO??O3B*??A??*?.
O??2A?O3A*??C??*?.
O??2B【答案】 B
【解析】根据CC??CE若C??CC?1,C?1?1?C C
?O?B??*?3A?OD???*?3B2B*??. O?
2A*??. O??0分块矩阵??B0A?的行列式?B0?A02?2?（?1）AB?2?3?6即分块矩阵可逆
?100???（8）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP??010?，若
?002???P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QTAQ 为
?210??110?A?.??? ?002???
?110??? ?B?. ?120?
?002????200??010?C?.??? ?002???
?100?
??
?D?.?020? 【答
?002???
案】 A
?100???(?,?,?)E(1)，即： 110【解析】Q?(?1??2,?2,?3)?(?1,?2,?3)?12312????001??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2?x=??0edu在（9）曲线?处的切线方程为 （0，0）?y?t2ln(2?t2)?【答案】y?2x
dy2t?2tln(2?t2)?t2?dt2?t2dy所以 ?2
dx【解析】
所以 切线方程为y?2x
t?1??2
+?kx（10）已知?edx?1,则k? 【答案】?2
??【解析】
1??edx?2?????kx??01ekxdx?2limekx b???k0b因为极限存在所以k?0
1（11）lim?e?xsinnxdx? 【答案】
n??00
【解析】令In??e?xsinnxdx??e?xsinnx?n?e?xcosnxdx
ncosnx?sinnx?xe?C
n2?11ncosnx?sinnx?x1e0) 即lim?e?xsinnxdx?lim(?2n??0n??n?1所以In??d2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dxyx=0= 【答案】
?3
考研数学二试题及答案解析
