湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

由天下分享时间：2025/3/10 4:12:46 加入收藏我要投稿点赞

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．．

1．若复数

a?i的实部与虚部相等，则实数a?（） A 2i（B）1

（C）?2

（D）2

（A）?1 2.已知f(x?1)?2f(x) x?N*），猜想f(x）的表达式为（）. ,f(1)?1（f(x)?2A.f(x)?4212 B.f(x)? C.f(x)? D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1x3．等比数列{an}中，a1?0，则“a1?a3”是“a3?a6”的 B （A）充分而不必要条件（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有 B （A）60种

（B）72种

（C）84种

（D）96种

5.已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x??3，且当x??3时，f(x)?2x?3.若

函数f(x)在区间(k?1,k)（k?Z）上有零点，则k的值为 A

（A）2或?7 （B）2或?8 （C）1或?7 （D）1或?8

6．已知函数f(x)?log2x?2log2(x?c)，其中c?0．若对于任意的x?(0,??)，都有

f(x)?1，则c的取值围是 D

（A）(0,]

14（B）[,??)

14（C）(0,]

18（D）[,??)

187.已知函数f(x)?ax3?bx2?2(a?0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则 B A．当a?0时，x1?x2?0，x1x2?0 B. 当a?0时，x1?x2?0，x1x2?0 C. 当a?0时，x1?x2?0，x1x2?0 D. 当a?0时，x1?x2?0，x1x2?0

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8．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为底面ABCD 上的动点，PE?A1C于E，且PA?PE，则点P的轨迹是 A

（A）线段（C）椭圆的一部分

（B）圆弧

（D）抛物线的一部分

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．设等差数列{an}的公差不为0，其前n项和是Sn．若S2?S3，Sk?0，则

k?______．5

10.(x2?)6的展开式中x3的系数是．160

2x11．设a?0.若曲线y?x与直线x?a,y?0所围成封闭图形的面积为a2,则

a?______. 12．在直角坐标系xOy中，点B与点A(?1,0)关于原点O对称．点P(x0,y0)在抛物线

y2?4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0?______．1?2 13. 数列{an}的通项公式an?ncos3018

14．记实数x1,x2,设△ABC

的三边边长分别为a,b,c，且a?b?c，定义△ABC的倾斜度为

n??1，前n项和为Sn，则S2012? ___________。2,xn中的最大数为max{x1,x2,,xn}，最小数为min{x1,x2,,xn}.

abcat?max{,,}?min{,

bcab . . . .

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bc,}． ca（ⅰ）若△ABC为等腰三角形，则t?______；1

（ⅱ）设a?1，则t的取值围是______．[1,1?5) 2

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题共14分）

已知函数f(x)?mlnx?(m?1)x (m?R)．

（Ⅰ）当m?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）讨论f(x)的单调性；

（III）若f(x)存在最大值M，且M?0，求m的取值围．（18）（共14分）

解：（Ⅰ）当m?2时，f(x)?2lnx?x．

f?(x)?2x?2． ?1?xx所以f?(1)?3．又f(1)?1，

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y?1?3(x?1)，即3x?y?2?0．

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（Ⅱ）函数f(x)的定义域为(0,??)，

f?(x)?m(m?1)x?m． ?m?1?xx当m≤0时，由x?0知f?(x)?m?m?1?0恒成立， x此时f(x)在区间(0,??)上单调递减．当m≥1时，由x?0知f?(x)?m?m?1?0恒成立， x此时f(x)在区间(0,??)上单调递增．当0?m?1时，由f?(x)?0，得x?mm，由f?(x)?0，得x?， 1?m1?m此时f(x)在区间(0,mm)单调递增，在区间(,??)单调递减． 1?m1?m（III）由（Ⅱ）知函数f(x)的定义域为(0,??)，

当m≤0或m≥1时，f(x)在区间(0,??)上单调，此时函数f(x)无最大值．当0?m?1时，f(x)在区间(0,mm)单调递增，在区间(,??)单调递减， 1?m1?m所以当0?m?1时函数f(x)有最大值．最大值M?f(mm)?mln?m． 1?m1?m因为M?0，所以有mlnme． ?m?0，解之得m?1?e1?m所以m的取值围是(e,1)． 1?e16．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sinx?acosx的一个零点是（Ⅰ）数a的值；

π． 4（Ⅱ）设g(x)?f(x)?f(?x)?23sinxcosx，求g(x)的单调递增区间．

（Ⅰ）解：依题意，得f()?0， ………………1分

π4 . . . .

. . . .

即 sinππ22a?acos???0， ………………3分 4422解得 a?1． ………………5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f(x)?sinx?cosx． ………………6分

g(x)?f(x)?f(?x)?23sinxcosx

?(sinx?cosx)(?sinx?cosx)?3sin2x ………………7分

?(cos2x?sin2x)?3sin2x ………………8分

?cos2x?3sin2x ………………9分

π?2sin(2x?)． ………………10分