????=????
在△??????和△??????中，{∠??????=∠??????，
????=????∴△??????≌△??????(??????)，
∴????=????，∠??????=∠??????， ∴∠??????=∠??????，
∵????=????，????=????，
∴∠??????=∠??????=∠??????=∠??????， ∴△??????∽△??????， ∴
????????
=????≥????，
????????
????????
∵sin∠??????=∴
????????
=??????45°=
√2， 2
≥
√2， 2
√2????， 2
∴????≥
????=????
在△??????和△??????中，{∠??????=∠??????，
????=????∴△??????≌△??????(??????)，
∴????=????，∠??????=∠??????=90°， ????=√????2+????2=√52+122=13， ??△??????=2?????????=2?????????， ∴????=
?????????????1
1
=
5×121312013
=13，
60
∴????=2????=∴????≥
√22
，
60√213
×
12013
=
， ，
∴线段MN的最小值为故答案为：
60√2． 13
60√213
连接BD交AC于H，作∠??????的平分线BP，交AC于P，连接PD，作????⊥????于E，连接PM、PN，则????≥????，证明△??????≌△??????(??????)，得出∠??????=∠??????，证明△??????≌△??????(??????)，得出∠??????=∠??????=2∠??????=45°，????=????，易证∠??????=∠??????，证明△??????≌△??????(??????)，得出????=????，∠??????=∠??????，推出∠??????=∠??????，证出∠??????=∠??????=∠??????=∠??????，得出△??????∽△??????，则????=????≥????，√由sin∠??????=，推出≥√，即????≥√????，证明△??????≌△=??????45°=
????2????22
????
2????
22????
????
????
1
??????(??????)，∠??????=∠??????=90°，得出????=????，由??△??????=????=√????2+????2=13，
1
?????????=2?????????，求出????=13，得出????=2????=2
16012013
，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数
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等知识；本题综合性强，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 19.【答案】2
【解析】解：??=(1+???2??2)(??0+??1??+??2??2+??3??3…+????????)， 当??=0时，??0=0，
∴1=(1+???2??2)(??1+??2??+??3??2…+?????????1)， 当??=0时，??1=1，
??1+??2=0，??2+??3?2??1=0， ∴??2=?1，??3=3， ∴??3+??2=2， 故答案为2．
先去分母，第一次赋值??=0求出??0=0，再化简式子为1=(1+???2??2)(??1+??2??+??3??2…+?????????1)，第二次赋值??=0，求出??1=1，再由等式的性质得到??1+??2=0，??2+??3?2??1=0即可求解．
本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，给式子恰当的赋值运算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)联立??=??2+(???7)??+6，??=??并整理得：
??3+(???7)??2+6?????=0…①，
??=2时，上式为：(???1)(??2?4??+2)=0， 解得：??=1或2+√2或2?√2，
故函数交点坐标为：(1,2)或(2+√2,2?√2)或(2+√2,2?√2)； (2)①式中含有(???1)的因式，即：(???1)[??2+(???6)??+??]=0， 故其中一个根：??=1，
a为正整数，??2+(???6)??+??=0方程有一个到两个的根， △=(???6)2?4??≥0，
交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为??)， 即(???6)2?4??=??2(??为非负整数)， 整理得：(???8)2???2=28，
即：(???8+??)(???8???)=28=4×7=2×14=1×28， 而???8+??≥???8???，
当???8+??=7，???8???=4时，解得：??=13.5(舍去)； 当???8+??=14，???8???=2时，解得：??=16； 当???8+??=28，???8???=1时，??=23.5(舍去)； 故??=16；
(3)两个函数的交点都在直线??=2的右侧，只会出现如下图所示的情况，
1
??
两个函数三个交点在??=2的右侧，其中一个交点横坐标为??=1在??=2的右侧， 故只需要确定??2+(???6)??+??=0根的情况，
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11
只要左侧的根在??=2右侧即可， 解上述方程得：??=6???±√??即6????√??
2?16??+36
2?16??+36
1
2
，
2116
>2，
1
解得：??>．
116
故：a的取值范围为：??>
．
??=并整理得：(1)联立??=??2+(???7)??+6，【解析】??3+(???7)??2+6?????=0，????=2时，上式为：(???1)(??2?4??+2)=0，即可求解；
a为正整数，??=1，(2)(???1)[??2+(???6)??+??]=0，故其中一个根：??2+(???6)??+
??=0方程有一个到两个的根，△=(???6)2?4??≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为??)，即(???6)2?4??=??2(??为非负整数)，讨论确定a的值； (3)两个函数的交点都在直线??=2的右侧，两个函数三个交点在??=2的右侧，其中一个交点横坐标为??=1在??=2的右侧，即6????√??
1
2?16??+36
??
11
2
1
>2，即可求解．
本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的性质，涉及面较广，难度较大．
21.【答案】解：(1)作????⊥????于H，????⊥????于I， ∵????=3，cos∠??????=3，
∴????=2，????=√5，
设????=3??，则????=2??，????=√5??，
∴????=3?2??，????=????+????=??+3?2??， ∴????=????+????=??+2， ∵∠??????=∠??????，
∴∠??????=∠??????=90°， ∴△??????∽△??????， ∴
????????
2
=
????????
，
√5， √5????+3
∴??+3?2??=
??+2
解得：??=??+4， ∴????=3??=
3??+9??+4
；
(2)如图2，连接????′交BE于M，连接按个，作??′??⊥????于N，
∵四边形ABCD为矩形，G恰为BE中点，
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∴????=????，
∴∠??????=∠??????，
∴∠??????=∠??????=∠??????=90°?∠??????， ∴∠??????+∠??????=90°， ∴????⊥????，
∵????′⊥????，??′??⊥????， ∴四边形????′????是矩形， ∴????=??′??=
3√24
，
3
设????=??，则????=????=????=??+4√2， ∴????2=????2?????2=????2?????2=(??+解得：??=√，
423√22
)4
?(√2)2=1???2， 4
3
∴????=????=????+????=√2， ∴????=2√2，
∵∠??????=∠??????， ∴△??????∽△??????， ∴
????????????√=
????????
，
∴2=2√2， 1
解得：????=4，∴????=????=4， ∴????=?????????=4?1=3．
【解析】(1)作????⊥????于H，????⊥????于I，根据已知条件得到????=2，????=√2，设????=3??，则????=2??，????=√5??，得到????=3?2??，????=????+????=??+3?2??，根据相似三角形的性质得到????=3??=
3??+9??+4
；
(2)如图2，连接????′交BE于M，连接按个，作??′??⊥????于N，根据矩形的性质得到????=????，求得∠??????=∠??????，推出四边形????′????是矩形，得到????=??′??=
3
3√2，设????4
=??，
则????=????=????=??+4√2，根据勾股定理列方程得到????=????=????+????=√2，求得????=2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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2024年四川省成都七中自主招生数学试卷及答案解析
