中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试
理科数学试卷（一卷）
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知函数f(x)=ln(a-3x)的定义域为A，若4A，5A，则a的取值范围是（ ） A．（12,15） B． [12,15) C．（12,15] D．[12,15]
2．已知变量x,y 满足约束条件，则z 的取值范围是（ ）
A．[2，4] B． C．[3，5] D．
3．已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．直线l过拋物线y2=2px(p>0)的焦点F，与该拋物线及其准线依次交于A、B、C三点（其中B在A、C之间），若|BC| =3|BF|，|AF|=3，则p=（ ） A．2 B．5．定义
C．3 D．4
，若
展开式中x一次项的系数为m，则等于（i为虚数单位）（ ）
A．- i B．i C．1 D．-1 6．函数f(x)=
的大致图象是（ ）
A B C D 7．已知正项等比数列{an}的公比不为1，Tn为其前n项积，若T3=T7，则 A．5:3 B．3:5 C．5:1 D．1:5
（ ）
8．在△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c.若A=120°，a=1，则2b+3c的最大值为（ ） A．3 B．
C．
D．
9．已知a>b>0， 有下列命题： ①若
-=1，则a-b<1； ②若a2-b2=1，则a-b<1；
③若a3-b3<1，则a-b<1； ④若a4-b4<1，则a-b<1； 其中真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为R，圆心角为则圆柱的高为（ ） A．
B．
C．
D．
π的扇形，圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等，
11．椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左焦点为F，若△ABF外接圆的圆心在直线y=x的右下
方，则此椭圆的离心率的取值范围是（ ） A．( ,1) B．(0,
) C．(0, ) D．(
,1)
12．已知函数f(x)=|x-a|- +a(aR)，若方程f(x)=2有且只有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ） A．(1+ C．
,3) B．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数f(x)=log3|ax+1|图象的对称轴是x=2，则非零实数a的值为 ． 14．已知A(1,1)，B(0,1)，C(1,0)，M为线段BC上一点，且范围是 ． 15．设F1、F2是双曲线
的左右焦点，M是双曲线上任意一点，过F1作∠F1MF2平分线的垂
，若
，则实数的取值
线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程是 ． 16．若对任意的xD，均有
成立，则称函数f(x)为函数g (x)和函数h(x)在区间D上的“M函数”．已
知函数f(x)=(k-1)x-1，g (x)= -3，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)和h(x )在区间[1,2]上的“M 函数”，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分． 17．（12分）已知函数
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足asinB+bcos2A=bcosA，求f(B)的取值范围．
18．12分）如图，正方形ADEF与□ABCD所在的平面互相垂直，且AB=2AD=2a， ∠BAD=60°,G为BD的中点．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求平面CGE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
．
19．（12分）为加强对企业产品质量的管理，市质监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这600件螺帽质量指标值的样本平均数，样本方差s2（在同一组数据中，用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z服从正态分布
22平均数，σ近似为样本方差s．
，其中 近似为样本
（i）利用该正态分布，求P(185.03 （ii）现从该企业购买了100件这种螺帽，记X表示这100件螺帽中质量指标值位于区间(185.03, 229.94)的件数，利用（i）指标值的结果，求E(X)． 附： 若 14.97． ，则 ． 2 20．（12分）已知AB是x轴正半轴上两点（A在B的左侧），且|AB| =a(a>0)，过AB作x轴的垂线，与抛物线, y=2px(p>0) 在第一象限分别交于D,C两点. （Ⅰ）若a=p，点A与抛物线y2=2px的焦点重合，求直线CD的斜率； （Ⅱ）若O为坐标原点，记△OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2 ，求 21．（12分）已知函数f(x)=(ax+1)ex, a∈R． （Ⅰ）当a>0时，证明：f(x)+ >0； 的取值范围. （Ⅱ）当a=-时，如果x1 ≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2<2． 选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修 4?4：坐标系与参数方程选讲（] 10分） 已知曲线C的参数方程为 （为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x的非负半轴为极 轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）P、Q为曲线C上两点，若23．[选修4?5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)=|x+2|-a|2x-1|，a∈R. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集； （Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式f(x)>a成立，求a的取值范围． 0，求 的值．
中学生标准学术能力诊断性测试(清华大学)2018年12月测试理科数学试卷(一卷)
