上海华东政法大学附属中学数学三角形解答题单元综合测试（Word版 含答
案）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°. 【解析】 【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【详解】
（1）答案为：30°；是； （2）∵AB⊥OM ∴∠BAO＝90° ∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30° ∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90° ∴∠ACO＝3∠OAC， ∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC＝30° ∵△ABC为“智慧三角形”， Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°， ∴30＝3（90-x）， ∴x=80 Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时， ∴30=3（60+x） ∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在， Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时， ∴60+x＝3（90-x）， ∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时， ∴60+x＝90°， ∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时， ∴90-x＝90°， ∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时， ∴90-x＝3（60+x）， ∴x= -22.5（舍去）， ∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。 【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．如图，在△ABC 中，记∠A=x 度，回答下列问题： （1）图中共有三角形 个．
（2）若 BD，CE 为△ABC 的角平分线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式 表示），并证明你的结论．
（3）若 BD，CE 为△ABC 的高线，则∠BHC= 度（结果用含 x 的代数式表示），并证明你的结论．
【答案】（1）图中共有三角形 8 个；（2）(90+ 【解析】 【分析】
1 x ) ；（3）(180－x). 2本题考查的是三角形内角和定理，分析题意观察图形，根据三角形内角和为180°可知∠ABC=
180-x，根据角平分线的性质可以求出∠BHC，根据高线的性质可知2∠CDB=∠BEC=90o，再次利用三角形内角和定理可以求答案
【详解】
解：（1）图中共有三角形 8 个； （2）∠BHC=(90+
1x )度． 2∵BD，CE 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠BHC=180o－∠HBC－∠HCB=180o－（3）∠BHC=(180－x)度， ∵BD，CE 为△ABC 的高线， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CDB=∠BEC=90o， ∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180° ∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°
∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360° ∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180° ∵∠ABC+∠ACB=180°－∠A ∠BCH+∠CBH=180°－∠BHC ∴180°－∠A+180°－∠BHC=180° ∴∠BHC=(180－x)度 【点睛】
本题的关键是掌握三角形内角和定理
11 (∠ABC+∠ACB)= (90+ x )度．
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3．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β
（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；
（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式； （3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）120°； （2）β﹣α=60° 理由见解析；（3）平行，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用四边形的内角和求出∠ABC与∠ADC的和，利用角平分线的定义以及α+β=120°推导即可；
上海华东政法大学附属中学数学三角形解答题单元综合测试(Word版 含答案)
