初中数学竞赛辅导资料(64)
最大 最小值
甲内容提要
1. 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：
b24ac?b2①配方法：原函数可化为y=a(x+)+.
4a2a∵在实数范围内(x+
b2
)≥0， 2a4ac?b2b∴若a>0时，当x=－ 时， y 最小值=；
4a2a4ac?b2b若a<0时，当x=－ 时， y 最大值=.
4a2a②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax2+bx+c－y=0.
∵x 在全体实数取值时，
∴ △≥0
即b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2.
4ac?b24ac?b2若a>0，y≥，这时取等号，则y 为最小值；
4a4a4ac?b24ac?b2若a<0，y≤，这时取等号，则y 为最大值.
4a4a有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方
法方便.
2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：
定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.
例如：两正数x和y， 如果x+y=10, 那么xy的积有最大值，最大值是25.
定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.
例如：两正数x和y，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设a>0, b>0, a+b=k . (k为定值).
那么ab=a(k－a)
2k1=－a2+ka=－(a－k)2+.
42k2k当a=时，ab有最大值.
42
证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+
k, a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a ∵ a 为正实数，
∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y2－4k≥0.
∴y≤－2k(不合题意舍去)； y ≥2k. ∴ y最小值=2k.
?a?b?2k，解方程组? 得a=b=k.
?ab?k. ∴当a=b=k时，a+b 有最小值 2
k.
3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：
定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相
等时，其和的值最大.
定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.
定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积. 乙例题
例1. 已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，
求：x2+y2 的最大、最小值.
26x?3x解：由已知y2=, ∵y是实数， ∴y2≥0.
26x?3x2即≥0， 6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0.
2 解得 0≤x≤2.
这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，
26x?3x19x2+y2=x2+=－( x－3)2+
222 在区间0≤x≤2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4.
∴当x=0时，x2+y2=0是最小值 .
例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.
求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.
设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.
1?a?b?k，? 即 ?2
??ab?k. ∴a和b是方程 x2－
1kx+k=0 的两个实数根. 2∵a, b都是正实数，∴△≥0. 即(－
k2
)－4k≥0. 2解得k≥16；或k≤0 . k≤0不合题意舍去.
∴当k≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.
例3. 如图△ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH，问EH取多少长时，
矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：用构造函数法 A设EH=x, S矩形=y, 则GH=∵△AHG∽△ABC，
y. xHXBEaDhGyh?x∴x? . ahax(h?x)ahah∴ y=. ??(x?)2?hh24hah ∴当x=时，y 最大值 =.
24hah即当EH=时，矩形面积的最大值是.
24FC例4. 如图已知：直线m ∥n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的
延长线交直线m于D. ABan问：点P在什么位置时，S△PAB+S△PCD最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b－x. x ∵m∥n，∴
CDPC. ＝ABPAa(b?x)∴CD= mx11a(b?x)S△PAB+S△PCD=axSinα+(b－x) Sinα
22xPbDCb2?2bx?x21) =aSinα(x?x2b21?2b). =aSinα(2x+x2
2b2b ∵2x ×=2b2 (定值)， 根据定理二，2x +有最小值.
xxb21∴ 当2x =， x=2b时，
x2S△PAB+S△PCD的最小值是 (2－1)abSinα.
例5.已知：Rt△ABC中, 内切圆O的半径 r=1.
求：S△ABC的最小值.
解：∵S△ABC=
Bcr=1CbA1ab ∴ab ＝2S△. 222a ∵2r=a+b－c, ∴c=a+b－2r.
∴a+b－2r=a?b .
O两边平方，得 a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0.
用r=1, ab=2S△ 代入， 得 4+4S△－4(a+b) =0. a+b=S△+1.
∵ab=2S△ 且a+b=S△+1.
∴a, b是方程x2－(S△+1)x+2S△=0 的两个根. ∵a,b是正实数， ∴△≥0，
即 [－(S△+1)]2－4×2S△ ≥0， S△2－6S△+1≥0 .
解得 S△≥3+22或S△≤3－22. S△≤3－22不合题意舍去. ∴S△ABC的最小值是3+22.
例6.已知：.如图△ABC中，AB=6?解：设 a+b=y , 则b=y－a.
根据余弦定理，得 (6?2，∠C=30?. 求：a+b 的最大值.
2)2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30?
写成关于a 的二次方程： (2+3)a2－(2+3)ya+y2－(8+43)=0.
∵a 是实数， ∴△≥0.
即(2+3)2y2－4(2+3)[y2－(8+43)]≥0，
y2－(8+43)2 ≤0 .
∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.
b30aCAcB
又解：根据定理三 ∵AB和∠C都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.
由余弦定理，(6?C2)=a＋b－2abCos30
2
2
2
Ac?b30a可求出 a=b=4+23. ………
B丙练习64
1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是＿＿＿＿＿＿. (1988年全国初中数学联赛题)
2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.
3. 面积为100cm2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿. 4. a, b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是________. 5. 若x>0, 则x+
9的最小值是________. x6. ABCD
如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于
＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..
(1987年全国初中数学联赛题)
7. 如右图△ABC中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是
Ⅱ以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积 BⅠ的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
AC(1988年全国初中数学联赛题)
Ⅲ8. 下列四个数中最大的是 ( )
（A） tan48+cot48 ..(B)sin48+cos48. (C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48.
(1988年全国初中数学联赛题)
9.已知抛物线y=－x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是__________
C(1986年全国初中数学联赛题)
10. 如图△ABC中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点P在AB上， QPQ⊥BC于Q.问当P在AB上什么位置时，S△APQ最大？ 11. △ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边
APB三角形BDC，问当∠BAC取什么度数时AD最长？
12. 已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.
13. △ABC中∠B=60，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.
14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.
15. D，E，F分别在△ABC的边BC、AC、AB上，若BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA =k∶(1－k) (0 16.△ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？ ?????????
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三下部分,共)-64
