ax3?bx2?1)?2，求a与b的值。 4 已知lim(x?x??1?x25.计算下列极限： (1) limsinax；
x?0x (2) limtan3x；
x?02xsinx?sina；
x?ax?axn(5)； lim2sinn
n??2(3) lim6.计算下列极限： (1) lim(n??1?cos2x；
x?0x2sinx (6)；lim
x??x?? (4) limnn)； n?12x
(2) lim(1?)x；
x??2x(3) lim(1?3x)；
x?0 (4) lim(n??2n?1n)； 2n?32sinx(5)； lim(cosx)2x?01sin2x (6) lim(1?3x)x?0
7利用极限存在准则，证明下列极限： (1) lim2?n??2?2??2?2;
???????????n(2) lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)?1.
(3)设x1?1,x2?1?xx1，?,xn?1?n?1，证明：数列{xn}收敛，并求其极限 1?x11?xn?18当x?0时，如果以x为基本无穷小，指出下列各无穷小的阶，且找出等价无穷小： (1) sin2x；
(2) x?x；
(4)
24(3) 1?cos3x； (5)
x2?1?1?x2；
1ln(1?3x2). 29.利用等价无穷小代换求极限：
tan3x(1) lim；
x?0tan6xex?e?x1?cosx
asinx?1 (2) limxx?0e?1?a?0,a?0?；
(3) limx?0；
(4)；lim1?cos?x
x?1(1?x)2(5)； limx?xcosx
x?0sinx?tanxsin(1?x)
x?1lnx
(6)；lim1?xsinx?1e?1x2x?0
(7)； lim
10.下列函数在哪些点处间断；说明这些间断点的类型。若是可去间断点，则重新定义函数在该点的值，使之连续。 (1) f(x)?(3) f(x)?x?1； x2?1
(2) f(x? (4) f(x)?|x|； xtanx； x
11?ex1?x；
1?x2nx (5)f(x)?limn??1?x2n1??xsin11.设f(x)??x2??a?xx?0x?0，要使f(x)在???,???内连续，应当怎样选择数a？
x?1?x2?12.确定a,b，使f(x)??ax?b0?x?1 在(??,??)内连续。
?exx?0?sinax?x?0,x??2k?(k?N*)?1?cosx?bx?013.设函数f(x)??，问a,b为何值时，
?12x?0?x[lnx?ln(x?x)]? f(x)在它的定义域内的每点处连续。
14用洛必达法则求下列极限 （1） limsinx?sina;
x?ax?ax?0
（2） lim
lntan7x;
x??0lntan2xx?0（3） lim[11?]; xln(1?x)1x
（4） lim(11?x); xe?1（5） lim(1?x)?e;
x?0x1 （6）lim()tanx;
x??01x
sinxx2); （7）lim(x?0xsinx2et??arcsin1?t2（8）limxx??0;
（9） limt??0ln(1?t).
15.设f(x)二阶导数存在,证lim16.讨论函数
h?0f(x?h)?f(x?h)?2f(x)?f??(x). 2h1?x1(1?x)?]x;x?0?[ f(x)??e??12?x?0?e;在点x?0处的连续性.
17． 求下列极限：
⑴ lim?x0ln(cost)dtx3x?0;
32
⑵ lim?x0sint2dtx3x?0;
⑶ lim??x0x02tdt;
⑷ limx?0?x0(ex?e?x)dx1?cosx；
x??0t(t?sint)dt三、导数的几何应用
1 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) y?1x2在点(1,1)处;
(2) y?cosx?1在点(,)处.
32(3) 求y?x在点(?1,0)处的切线 2 研究下列函数的单调性:
(1)f(x)?x-arctanx ; 3 确定下列函数的单调区间:
(2)f(x)?(1?1x),(x?0) x(1)y?2x?6x?18x?7 ; (3)y?ln(x?1?x2) . 4证明下列不等式: (1)当x?0时, 1?32
x2(2)y? ;
x?11x?1?x; 2
(2)当x?4时, 2?x.
x2 (3)当x?0时, 1?xln(x?1?x2)?1?x2; 5．试证方程 sinx?x 只有一个实根. 6 求下列函数图形的凹、凸区间. (1)y?ln(1?x);
2
(2)y?e?x.
27 利用函数的凹凸性,证明不等式:
xlnx?ylny?(x?y)ln32x?y2(x?0,y?0,x?y).
8 试确定曲线y?ax?bx?cx?d中的a,b,c,d,使得点(-2,44)为驻点,点(1,-10)为拐点.
9 已知曲线xy??x??y?0以点(2,2.5)为拐点.试确定?,?的值. 10 讨论方程lnx?ax,11 求下列函数的极值: (1)y?x?3x?9x?5; (3)y?2x?3x;
23322(a?0)有几个实根.
(2)y?x?1?x;
12 试问:a为何值时,函数f(x)?asinx?1?sin3x在x?处取得极值?它是极小值还是33极大值?并求此极值.
13 求下列函数在指定区间上的最大值,最小值: (1)y?x?8x?2,x?[?1,3]; 14绘下列函数的图形 （1）y?42
(2)y?x?1?x,x?[?5,1];
12x?1 2 （2）y?1?x(x?1)2四、导数的理论问题
1.证明方程x?3x?1至少有一个根介于1和2之间。
52.证明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一个正根，并且它不超过a?b. 3.若f(x)在闭区间[a,b]上连续，a?x1?x2???xn?b，则在[x1,xn]上必有?使
f????f(x1)?f(x2)??f(xn).
nx??4.证明若f(x)在(??,??)内连续，且limf(x)存在，则f(x)在(??,??)内有界。 5.若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)?a,f(b)?b，证明在(a,b)内至少有一点?，使f(?)??.
6.设函数f(x)在闭区间[0,2a]上连续，且f(0)?f(2a)，证明在[0,a]上至少存在一点?，使f(?)?f(??a).
7.函数f(x)在区间(a,b)内连续，并且limf(x)???,limf(x)???.证明f(x)在区间
x?a?0x?b?0(a,b)内有零点。
8. 不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数,说明方程f?(x)?0有几个实 根,并指出它们所在的区间.
9设f(x)是处处可导的奇函数,证明:对任一b?0,总存在c?(?b,b)使得f?(c)=10证明恒等式arcsinx?arccosx?11. 证明不等式: ⑴
f(b). b? (-1≤x≤1).
2aa?ba?b
＜ln＜ (a?b?0); abbxx
⑵ x?e?1?xe.
12．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数且f(x1)?f(x2)?f(x3),其中
a?x1?x2?x3?b，证明:在(x1,x3)内至少有一点?,使得f??(?)?0.
13. 若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，A(a,f(a)),B(b,f(b))，弦AB
(word完整版)高等数学同步练习题
