222∴r?(23)?(6?r) ∴r?4 （2分） 在
Rt?ADO中，?ADO?90? ， cos?BAO?AD233?? AO42 ∴ ?BAO?30? （1分）
(2) 过点O作 OH?BE，垂足为点H ，∴BE?2BH （1分） ∵ BE//AO ∴?EBA??OAB?30 （1分） 联结BO，∴ BO?AO?4 ∴?OBA??OAB?30
∴?OBH??EBA??OBA?60 （1分） 在Rt?OBH中，?BHO?90， cos?OBH?????BH? ∴BH?4cos60?2 （1分） BO∴BE?2BH?4 （1分） 22．（本题满分10分） 解：过点B作D?C?的垂线交D?C?的延长线于点E，延长OA交BE于点F，
设C?E?x，由题意可知：
?EBA?70?，?EBC??45?，C?D??8，EF?AD??16，AF?D?E?x?8 （4分）
在 Rt?BEC?中，?BEC??90， cot?EBC????BE ?CE得 BE?C?Ecot?EBC??C?Ecot45?C?E?x （1分） ∴ BF?BE?EF?x?16 （1分） 在 Rt?BFA中，?BFA?90， tan?ABF??AFx?8? 得tan70? BFx?1616?8cot70?16?8?0.36??29.5 （1分） ∴x??1?cot701?0.36∴FO?AF?AO?x?8?7?29.5?8?7?44.5?45cm． （1分）
∴点B到水平桌面OM的距离约为45cm （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵AB?AF?AC?AE ∴
ABAE? （1分） ACAF∵AE平分?BAC ∴?BAE??CAF （1分） ∴?ABE∽?ACF （1分） ∴?B??ACF （1分） 又∵?AFD??ACF??CAF,?AEC??B??BAE
∴?AFD??AEC （1分）
(2)∵?AFD??AEC，?AFD??CFE ∴?CFE??AEC （1分）
∴FC?CE （1分） ∵EG//CD ∴?DCB??CEG ?ACF??G
又∵?ACF??B ∴?B??G （2分） ∴?BCD∽?GEC （1分）
CDBD （1分） ?CECGCDBD ∴ 即CD?CG?FC?BD． （1分） ?FCCG∴
24．（本题满分12分，每小题4分） 解：（1）∵抛物线y?12x?mx?n过点B(6,1) 、 C(5,0) 3?128??3?6?6m?n?1?m??∴ ? ∴?3 （2分） 12???5?5m?n?0?n?5?3128 ∴y?x?x?5 （1分）
33令x?0得y?5，∴点A的坐标为(0,5) （1分） （2）∵A(0,5)，B(6,1)，C(5,0) ∴AC?52，BC? ∴AB?AC?BC ∴?ACB?90
又∵PQ?OA ∴?PQA?90 ∴?PQA??ACB （1分） ∵A(0,5)，C(5,0) ∴OA?OC，∵?AOC?90 ∴?OAC??OCA?45 （1分） ∵?QAP??PAB??BAC??CAO?180， ?PAB?45
? ∴?QAP??BAC?90 ∵?ABC??BAC?90 ∴?QAP??ABC （1分）
???2，AB?213
222????∴ΔPQA∽ΔACB （1分） （3）设点B?是点B关于直线AC的对称点，则B?C?BC?过点B作B?G?x轴，垂足为点G ∵?B?CO??OCA?90， ?OCA?45，
??2，?ACB???ACB?90?
-1） ∴?B?CO?45 ∴B?G?GC?1 ∴B?（4， （1分）
∵点F?同时在线段AB?与抛物线上 ，∴设F?(x,?128x?x?5) 33分别过点F?，B?作F?H?y轴，B?H??y轴，垂足分别为H、H?，则F?H//B?H?
812x?xAF?F?HAH7x33 ∴ 即? ∴x? （1分） ??AB?B?H?AH?246AF?FF? 又∵FF??AC，BB??AC ∴FF?//BB? ∴ ???ABBB7FF?F?H27∴ ??? （1分）
BB?B?H?48∵BB?2BC?22 ∴
FF?77? ∴FF??2 （1分） 842225．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
解：（1）∵四边形PQNM是矩形 ∴?MPQ?90? ∵PM?AB， ∴?PMB?90?
∴?MPQ??PMB?180? ∴PQ//AB ∴?A??CPQ （1分） 在Rt?ABC中，?C?90，AC?8，BC?6 ， ∴AB?10， sinA? ∴在Rt?PMA中，?AMP?90，PM?AP?sinA?在Rt?PCQ中，?C?90，PQ????BC63?? AB1053AP （1分） 5CQ5?CQ
sin?CPQ35AP （1分） 33APPM59 ∴ tan?PQM? （ 1分） ??PQ5AP253∵AP?CQ ∴PQ?（2）过点Q作QH?AB，垂足为点H
在Rt?ABC中，?C?90，AC?8，BC?6 ，AB?10
?AC84BC63?? ， cosB??? AB105AB10544? ∴在Rt?PMA中，?AMP?90，AM?AP?cosA?AP?x （1分）
55 ∴ cosA? 在Rt?BHQ中，?BHQ?90，BQ?BC?CQ?6?x
?3(6?x) （1分） 543321∴ MH?AB?AM?BH?10?x?(6?x)??x （1分）
55553由（1）知，PM?x ，
5332196324 ∴y?PM?MH?x(?x)?x?x2(0?x?) （ 2+1分）
∴ BH?BQ?cosB?55525257（3） 20040043或59
（ 2+2分）
2024年上海长宁初三数学一模试卷及答案
