第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质
[做小题——激活思维]
1．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，
2516则△F1AB的周长为( )
A．12 B．16 C．20 D．24 C [△F1AB的周长为 |F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B| ＝2a＋2a＝4a.
在椭圆＋＝1中，a＝25，a＝5，
2516∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C.]
1?1?2．已知点F?，0?，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线4?4?与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 C．圆
B．椭圆 D．抛物线
x2y2
x2y2
2
D [由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，
1620则|PF2|＝________.
17 [由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.]
x2y2
x2y22
4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________．
4k3
2036
或 [当k＞4时，有e＝95
4236
1－＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝k35
1－＝4
k2202436，解得k＝.故实数k的值为或.] 3995
- 1 -
x2y23
5．双曲线2－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
a95x2y2
5 [∵双曲线的标准方程为2－＝1(a＞0)，
a9
3
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
a3
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.]
56．抛物线8x＋y＝0的焦点坐标为________．
2
?0，－1? [由8x2＋y＝0，得x2＝－1y. ?32?8??
11∴2p＝，p＝，
8161??∴焦点为?0，－?.]
32??
[扣要点——查缺补漏]
1．圆锥曲线的定义及标准方程
(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件，如T3.
(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化．如T1，T2.
(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”． 2．圆锥曲线的几何性质
(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，如T4.
(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)
[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.
1．(2024·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，
B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
- 2 -
A.＋y＝1 2C.＋＝1 43
x2
2
B.＋＝1 32D.＋＝1 54
x2y2x2y2
x2y2
切入点：|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|.
关键点：挖掘隐含条件，确定点A的位置，求a，b的值．
x2y2
B [设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
ab∵|AB|＝|BF1|， ∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
3
又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，
2∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，
∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，
b??3
又F2(1,0)，AF2＝2F2B，∴B?，－?.
2??2
x2y29b2
将B点坐标代入椭圆方程2＋2＝1，得2＋2＝1，
ab4a4b∴a＝3，b＝a－c＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.
32故选B.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，
8
2
2
2
2
2
→→
x2y2
y2
A(0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
切入点：△APF的周长最小．
关键点：根据双曲线的定义及△APF周长最小，确定P点坐标．
126 [由双曲线方程x－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3，0)．当点P在
8双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝3＋66
2
22
y2
＝15为定值，
所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
- 3 -
由题意可知直线AF1的方程为y＝26x＋66，
??y＝26x＋66，由?2y2
x－＝1，?8?
得y＋66y－96＝0，
2
解得y＝26或y＝－86(舍去)， 所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
11
＝×6×66－×6×26＝126.] 22[教师备选题]
11．[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，
2则该双曲线的标准方程为________．
x2
12
－y＝1 [法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 42
2
2
∴可设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)＝4， ∴双曲线的标准方程为－y＝1.
4
1
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而3<2，
2
11
∴点(4，3)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．
22∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为
2
x2
2
x2y2
－＝1(a>0，b>0)． a2b2
由已知条件可得
- 4 -
b1??a＝2，?163??a－b＝1，
2
2
??a＝4，解得?2
??b＝1，
2
∴双曲线的标准方程为－y＝1.]
4
x2
2
x2y2
2．(2024·天津高考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于
abx轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，
且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 39C.－＝1 412
x2y2x2
B.－＝1 93D.
－＝1 124
x2y2x2
y2y2
A [设双曲线的右焦点为F(c,0)．
x2y2c2y2
将x＝c代入2－2＝1，得2－2＝1，
ababb2
∴ y＝±.
ab??b??不妨设A?c，?，B?c，－?. a??a??
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
2
2
ba则d1＝
?b·c－a·b??a???|bc－b2|bb2＋－a2
2
2
＝
c＝(c－b)，
cd2＝
?b·c＋a·b??a???|bc＋b2|bb2＋－abc2
＝
c＝(c＋b)，
c∴ d1＋d2＝·2c＝2b＝6，∴ b＝3. ∵ ＝2，c＝a＋b，∴ a＝3， ∴ 双曲线的方程为－＝1.
39故选A.]
ca2222
x2y2
- 5 -
2024版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)
