专题04 通过向量转化研究向量问题
一、题型选讲
题型一运用基底转化法求参数的值
考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，选择一对基底表示其他向量，然后研究系数的关系。
→→→→
例1、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足PA＋PB＋2PD＝0，λPA＋→→
μPB＋PC＝0，则λμ＝________． 3
【答案】－ 4
→→
【解析】思路分析由于题中出现了四个向量，因此可以考虑消去PC或PD，再根据平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．
→→→→→→→→→→→
解法1(转化法)如图，因为PA＋PB＋2PD＝0，所以PA＋PB＋2(PC＋CD)＝0，即PA＋PB＋2(PC＋BA)3→1→→3→→→→→→→→
＝0，即PA＋PB＋2(PC＋PA－PB)＝0，所以，3PA－PB＋2PC＝0，即PA－PB＋PC＝0，所以λ＝，μ＝
22213
－，λμ＝－. 24
1→1→→1→1→→→→→
λ－?PA＋?μ－?PB＋DC解法2(基底法)因为PA＋PB＋PD＝0，λPA＋μPB＋PC＝0，两式相减得?2?2???221→1→→→11133
λ－?PA＋?μ－?PB＋PB－PA＝0，所以λ－＝1，μ－＝－1，λμ＝×?－?＝－. ＝?2?2???222?2?4
→→→→→→
解法3(几何法)取AB中点E，则PA＋PB＝2PE＝－2PD，所以PD＝EP，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点．
3→1→→3→1→2→1→2→
由PA＝PB＋PF＝PB－PC，得PA－PB＋PC＝0，所以λμ＝－.
3333224
→
解法1，把PD用其他三个向量来表示，根据平面向量的基本定理得到λ和μ的值；解法2，两式相减，
1 / 8
→→→→
同时消去了PC，PD，转化为以PA，PB为基向量的方程；解法3，通过构造三角形，根据向量的线性运算，→→→
找到PA，PB，PC这三个向量的关系式，以上三种解法都可以称为基底法，此外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形，通过坐标法来处理
→→→
例2、(2017苏锡常镇调研（一））在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB＋λAC，→→且BP·CP＝1，则实数λ的值为________． 1【答案】1或－
4
→→→→→→→→→→→→→
【解析】解法1由题意可得AP－AB＝BP＝λAC.又CP＝AP－AC＝AB＋(λ－1)AC，所以BP·CP＝λAB·AC＋λ(λ1→
－1)|AC|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
4
→
例3、(2016苏北四市摸底）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO→→
＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋y的值为________. 5
【答案】 8
【解析】 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为AB边的中线，且AD∩CE＝O.在△AEO中，AEEOACCOAEEO
由正弦定理得＝；在△ACO中，由正弦定理得＝，两式相除得＝，ACOCsin∠AOEsin∠EAOsin∠AOCsin∠CAO1EO1→→→→→→→→→
因为AE＝AB＝1，AC＝3，所以＝.所以CO＝3OE，即AO－AC＝3(AE－AO)，即4AO＝3AE＋AC，所
2OC3315→3→→→3→1→→→→
以4AO＝AB＋AC，从而AO＝AB＋AC，因为AO＝xAB＋yAC，所以x＝，y＝，于是x＋y＝.
284848
题型二运用基底转化求线段的长
运用运用基底转化求线段的长，主要就是研究向量的平方，
→→
例4、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若AB·AC→→
＝2，AD·AF＝5，则AE的长为________．
【答案】6
2 / 8
【解析】 思路分析解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE长，→→
且点B，C，D，E，F共线，故可以用向量AE，ED作为基底．
由题意，
→→→→→→→→?AC＝（AE＋2ED）·（AE－2ED）＝AE2－4ED2，?2＝AB·?
→→→→→→→→?AF＝（AE＋ED）·（AE－ED）＝AE2－ED2，?5＝AD·
→→
解得，AE2＝6，即|AE|＝6.
→→
例5、(2019常州期末）平面内不共线的三点O，A，B，满足|OA|＝1，|OB|＝2，点C为线段AB的中点，3→→
∠AOB的平分线交线段AB于D，若|OC|＝，则|OD|＝________．
22
【答案】
3
【解析】思路分析注意题目中有中线、角平分线，因此想到利用向量法或建系来处理．
3→1→→1→→→→→
解法1(向量法) C为AB的中点，则OC＝(OA＋OB)．又|OC|＝，|OA|＝1，|OB|＝2，所以OC2＝(OA224ADOA1→→→→1→1→→→2→1→
＋OB)2，得OA·OB＝－1.由角平分线定理得＝＝，即AD＝AB＝(OB－OA)，所以OD＝OA＋OB，
BDOB23333
2
→2?2→1→?4→24→→1→24→2OD＝?3OA＋3OB?＝OA＋OA·OB＋OB＝，所以|OD|＝.
99993
题型三运用基底转化法求向量的数量积
基底向量在解决向量问题中的应用．当然，首先必须利用向量运算及简单的轨迹知识去将问题逐步向基底向量转化，解题过程需要有较强的目标意识．；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．
例6、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，→3→→→→
满足CP＝PB＋2PA，则CP·AB的值为________．
2【答案】－1
【解析】思路分析平面向量数量积的求解主要有两种方式：基底法和坐标法．一般地，基底法运算较为简洁，但思维较抽象；坐标法较为直观，但运算复杂．
解法(基底法)
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→3→→→→3→→→→1→2→→→→因为CP＝PB＋2PA，所以AP－AC＝(AB－AP)－2AP，解得AP＝AB＋AC，故CP·AB＝(AP－
2239→→?1→2→→?→
AC)·AB＝?3AB＋9AC－AC?·AB
1→7→→47
＝AB2－AC·AB＝－×2×3×cos60°＝－1. 3939
例7、(2018无锡期末）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝，M为DC的中点，N为平面
3→→→→→→
ABCD内一点，若|AB－NB|＝|AM－AN|，则AM·AN＝________． 【答案】6
→→→→→→→→＝→→→→【解析】解法1(基底法)因为AB－NB＝AN，AM－AN＝NM，AB－NBAM－AN，所以AN＝NM，
π||||||||
→1→→→→→→
故动点N在线段AM的垂直平分线上，设线段AM的中点为P，则AP＝AM，由AN＝AP＋PN，可得AM·AN
21→1→1→1→?21→21→→→→→→→→→→
AD＋AB＝AD＋＝AM·(AP＋PN)＝AM·AP＋AM·PN＝AM·AP＋0＝AM2＝(AD＋DM)2＝?2?2222?2
π1→211→1→→111→→1→
AB·AD＋AB2＝AD2＋ABcos＋AB＝×4＋×4×2×＋×16＝6. AD822382228
||||
→→→→→→→→→→→→
解法2(基底法)因为AB－NB＝AN，AM－AN＝NM，|AB－NB|＝|AM－AN|，所以|AN|＝|NM|，故动点→1→→→
N在线段AM的垂直平分线上，设线段AM的中点为P，则AP＝AM，应用AN在AM方向上的投影，可得
2→→1
AM·AN＝AM2，在△ADM中，因为AD＝DM＝2，∠ADM＝120°，由余弦定理得AM2＝AD2＋DM2
2→→1
－2AD·DM·cos120°＝12，故AM·AN＝AM2＝6.
2题型四运用基底转化法研究向量数量积的范围
向量的数量积是高考中的C级要求，对于此类问题的处理方法通常有两种手段，一是应用基底的方法来进行研究，一般地，用基底的方法进行研究时，过程较为简洁、明快，但它的难点在于如何将所要研究的向量表示为基底的形式．为方便问题的研究，有时要充分利用图形的性质来研究问题；
→→
例8、(2017苏北四市一模）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则MA·MB的取值范围是________． 【答案】[－9,0]
【解析】思路分析1注意到圆是中心对称图形，因此，利用圆心来将所研究的向量关系进行转化，进而将→
问题转化为研究MO的模的问题来进行求解．
思路分析2注意到这是与圆有关的问题，而研究与圆有关的问题在坐标系中研究较为方便，因此，通过建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标来进行求解．
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→→→→→→→→→→→→→→→→
解法1因为MA＝MO＋OA，MB＝MO＋OB，又OB＝－OA，因此MA·MB＝MO2＋MO·(OA＋OB)＋OA·OB→→→
＝MO2－OA2＝MO2－16.因为M是弦CD上的动点，所以MOmax＝4，此时点M在圆上，MOmin＝16－9＝→→
7，此时点M为弦CD的中点，故MA·MB∈[－9,0]． 二、达标训练
17→→→→
1、(2018南京学情调研）.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，BM＝λBC.若AM·BC＝－，
3则实数λ的值为________． 1
【答案】
3
→→→→→→→→→→→→
【解析】解法1(基底法)因为AM＝AB＋BM＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC－AB)＝λAC＋(1－λ)AB，所以AM·BC→→→→→→→→＝[λAC＋(1－λ)AB]·(AC－AB)＝λ|AC|2＋(λ－1)|AB|2＋(1－2λ)AB·AC＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×171cos120°＝19λ－12＝－，解得λ＝. 33
2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，→→
CD＝2，DA＝3，则AC·BD的值为________． 【答案】10
【解析】思路分析1注意到所求的向量的数量积为对角线的乘积，而已知条件是四条边的长度，为此，将所→→→→→→→→→→→→→
求的向量转化为边的形式，即AC·BD＝(AB＋BC)·(BC＋CD)＝AB·BC＋BC·CD＋CD·AB＋BC2，因而→→→→
问题就转化为研究相关的向量的数量积，利用AB＋BC＋CD＝－DA平方可得．
→1→→思路分析2注意到在△ABC中，边AC上的中线为BO，则有BO＝(BA＋BC)，利用此结论来进行转化．这
2一结论的本质是一种对称性．
→→→→→→→→→→→→→
解法1因为AB＋BC＋CD＋DA＝0，则AB＋BC＋CD＝－DA，平方得AB2＋BC2＋CD2＋2(AB·BC＋→→→→→→→→→→→→→→→→→BC·CD＋CD·AB)＝(－DA)2＝DA2，即AB·BC＋BC·CD＋CD·AB＝－6，则AC·BD＝(AB＋BC)·(BC→→→→→→→→
＋CD)＝AB·BC＋BC·CD＋CD·AB＋BC2＝－6＋16＝10.
解法2如图，取AC中点O，连结BO，DO.
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2020年江苏省高考数学专项拔高训练专题04 通过向量转化研究向量问题(解析版)
