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习题1.3 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。传送字母的符号速率为
1RB??100Bd ?32?5?10等概时的平均信息速率为
Rb?RBlog2M?RBlog24?200bs
（2）平均信息量为
11316516H?log24?log24?log2?log2?1.977比特符号
44163165则平均信息速率为 Rb?RBH?100?1.977?197.7bs
习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us。试求码元速率和信息速率。
解：错误!未找到引用源。
等概时，Rb?RBlog2M?8000*log24?16kb/s
1.7 设一个接收机输入电路的等效电阻等于600欧姆，输入电路的带宽等于6MHz，环境温度为23℃，试求该电路产生的热噪声电压有效值。 解：V?4kTRB?4?1.38?10?23?(23?273)?600?6?106?7.67?10?6 V
习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m，试求其最远的通信距离。
解：由D2?8rh，得 错误!未找到引用源。m D?8rh?8*6.37*106*80?63849 km习题2.3 设有一信号可表示为：
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4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
?j?t???t?j?t???(1?j?)tX(?)????x(t)edt?4eedt?4dt????0?0e4 1?j?2416则能量谱密度 G(f)=错误!未找到引用源。= 错误!未?1?j?1?4?2f2找到引用源。
注意：以后的作业都要求将?展开为2?f。
习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f2?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题2.6 试求X(t)=Acos?t错误!未找到引用源。的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
12T2解：R(?)?limA?cos?t?cos?(t??)dt
?T2T??TA2cos?? ?212A 2下面的答案有疑问，最好是用课本中的式2.2-40（该公式是针对确知信号 P?R(0)?的），而用课本中的式2.6-3（该公式是针对随机信号的）是有疑问的。
???))]解：R(t，t+错误!未找到引用源。)=E[X(t)X(t+?)] =EE[?(tt??Acos?t*Acos(?? 12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?) 22A2功率P=R(0)=
2-*
习题2.4 X(t)=错误!未找到引用源。，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为错误!未找到引用源。。试求：
(1)E[X(t)]，E[错误!未找到引用源。]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2) 解：(1)E[X(t)]?E[x1cos2?t?x2sin2?t] ?E[x1]cos2?t?E[x2]sin2?t =0
E[X2(t)]?E[(x1cos2?t?x2sin2?t)2]
2sin22?t] ?E[x12cos22?t?2x1x2cos2?tsin2?t?x22]sin22?t ?E[x12]cos22?t?E[x1]E[x2]sin4?t?E[x2 ??2(cos22?t?sin22?t) ??2
(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高
?x2?1?。 exp??斯分布，其概率分布函数p?x??2??2???2??(3)
RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2??
??2?cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2cos2??t2?t1?
习题2.10 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。
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解：(1)Pn(f)??引用源。
????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2错误!未找到2k?(2?f)2 P?Rn?0??k2
(2)错误!未找到引用源。和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
0 Rn???Pn?f?1 k2?图2-2
0 f?e?t/?,t?0习题2.13 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成
?0,t?0的高通滤波器（见图2-3）上，RC＝错误!未找到引用源。。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的传输函数为 H(f)?R1R?j2?fC
C R 输入信号的傅里叶变换为
1? X(f)? ?1?j2?f1?j2?f?图2-3RC 高通滤波器
?输出信号y(t)的能量谱密度为
222Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?R?1(R?)(1?j2?f?)j2?fC
4?2f2?4 ? 2224441?8?f??16?f?
习题2.16 设有一个LR低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值
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为0、双边功率谱密度为
n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LR低通滤波器的传输函数为
图2-4 LR低通滤波器
输出噪声的功率谱密度为
错误!未找到引用源。
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
（2）输出亦是高斯过程，因此
错误!未找到引用源。
习题3.1 设一个载波的表达式为c(t)?5cos1000?t，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+错误!未找到引用源。。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解： s?t??m?t?c?t???1?cos200?t?5cos?1000?t?
?5cos1000?t?5cos200?tcos1000?t
5?5cos1000?t??cos1200?t?cos800?t?2由傅里叶变换得
55S?f?????f?500????f?500??????f?600????f?600???24
5???f?400????f?400??4已调信号的频谱如图3-1所示。
52S(f) 54 －600－500－400 0 400500600
通信基础学习知识原理课后复习详解(7章)
