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用）。
参考解答
在电压为U0时，微粒所受电场力为U0q/2l，此时微粒的加速度为a0?U0q/2lm。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为
3?T? l?a0?? （1）
16?2?现在分析从0到T/2时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A板，然后计算这些微粒的数目。
在t?0时产生的微粒，将以加速度a0向A板运动，经T/2后，移动的距离x与式（1）相比，可知
21?T? x?a0???l （2）
2?2?即t?0时产生的微粒，在不到T/2时就可以到达A板。在UA?U0的情况下，设刚能到达A板的微粒是产生在t?t1时刻，则此微粒必然是先被电压U0加速一段时间?t1，然后再被电压?2U0减速一段时间，到A板时刚好速度为零。用d1和d2分别表示此两段时间内的位移，v1表示微粒在?t1内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有
d1?21a0(?t1)2 （3） 20?v12?2(?2a0)d2 （4）
又因
v1?a0?t1， （5）
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d1?d2?l， （6）
t1??t1?T， （7） 2由式（3）到式（7）及式（1），可解得
t1?T， （8） 2这就是说，在UA?U0的情况下，从t?0到t?T/4这段时间内产生的微粒都可到达A板（确切地说，应当是t?T/4）。
为了讨论在T/4?t?t/2这段时间内产生的微粒的运动情况，先设想有一静止粒子在A板附近，在UA??2U0电场作用下，由A板向B板运动，若到达B板经历的时间为?，则有
2l?(2a0)?2
根据式（1）可求得
??1231?T 24由此可知，凡位于MN到A板这一区域中的静止微粒，如果它受U??2U0的电场作用时间大于?，则这些微粒都将到达B板。
在t?T/4发出的微粒，在UA?U0的电场作用下，向A板加速运动，加速的时间为T/4，接着在UA??2U0的电场作用下减速，由于减速时的加速度为加速时的两倍，故经过T/8微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在UA??2U0的电场作用下向B板运动的时间为
?1?T?T?T?12183831?T 24由于?1??，故在t?T/4时产生的微粒最终将到达B板（确切地说，应当是t?T/4），不会再回到A板。
在t大于T/4但小于T/2时间内产生的微粒，被UA?U0的电场加速的时间小于T/4，在UA??2U0的电场作用下速度减到零的时间小于t?T/8，故可在UA??2U0的电场作用下向B板运动时间为
???T?T??1
所以这些微粒最终都将打到B板上，不可能再回到A板。
由以上分析可知，在t?0到t?T/2时间内产生的微粒中，只有在t?0到t?T/4时间
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内产生的微粒能到达A板，因为各个时刻产生带电微粒的机会均等，所以到达A板的微粒数为
N?320?1?80 （9） 4第21届预赛， 1.（15分）测定电子荷质比（电荷q与质量m之比q /m）的实验装置如图所示．真空玻璃管内，阴极K发出的电子，经阳极A与阴极K之间的高电压加速后，形成一束很细的电子流，电子流以平行于平板电容器极板的速度进入两极板C、D间的区域．若两极板C、D间无电压，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的O点；若在两极板间加上电
压U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的P点；若再在极板间加一方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点．现已知极板的长度l = 5.00cm， C、D间的距离d = 1.50cm，极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L = 12.50 cm，U = 200V，P点到O点的距离y?OP?3.0cm， B = 6.3×10-4T．试求电子的荷质比．（不计重力影响）． 参考解答：
设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0，因为速度方向平行于电容器的极板，通过长度为l的极板区域所需的时间
－ K A ＋ ＋ M － C D O P
t1?lv0
(1)
当两极板之间加上电压时，设两极板间的场强为E，作用于电子的静电力的大小为qE方向垂直于极板由C指向D，电子的加速度
qE (2) mU而 E? (3)
d
a?因电子在垂直于极板方向的初速度为0，因而在时间t1内垂直于极板方向的位移
y1?12at1 2 (4)
电子离开极板区域时，沿垂直于极板方向的末速度
vy?at1
(5)
P点所需时间为t2
t2??L?l2?v0
(6)
在t2时间内，电子作匀速直线运动，在垂直于极板方向的位移
y2?vyt2
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(7)
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P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移
y?y1?y2
由以上各式得电子的荷质比为
2dqv0 ?y
mUlL子所受电场力与磁场力相等，即
(8)
(9)
加上磁场B后，荧光屏上的光点重新回到O点，表示在电子通过平行板电容器的过程中电
qE?qv0B
(10)
注意到 (3) 式，可得电子射入平行板电容器的速度
v0?U Bd (11)
代入(9)式得
qU ?2y
mBlLd代入有关数据求得
(12)
q?1.6?1011C/kg m (13)
第21届预赛2.（15分）如图所示，两条平行的长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为l，电阻可忽略不计；ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动．两杆的电阻皆为R．杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B．现大小各为多少？
参考答案：用E和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知
M 两杆及悬物都从静止开始运动，当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的
P b d Q K a B c B L E?Bl?v2?v1?
(1) (2)
I?E 2R令F表示磁场对每根杆的安培力的大小，则
F?IBl (3)
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令a1和a2分别表示ab杆、cd杆和物体M加速度的大小，T表示绳中张力的大小，由牛顿定律可知
F?ma1
(4)
Mg?T?ma2 (5) T?F?ma2
由以上各式解得
B2l2?v2?v1? a1?2Rm(6)
(7)
2MgR?B2l2?v2?v1?a2?
2?M?m?R(8)
第21届预赛，3.（17分）如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中B、C两点与其右方由1.0Ω的电阻和2.0Ω的电阻构成的无穷组合电路相接．求图中10μF的电容器与E点相接的极板上的电荷量． 参考解答：
设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC，则题图中通有电流的电路可以简化为图1中的电路．B、C右方的电路又可简化为图2的电路，其中RB?C?是虚线右
10V 18? 图1 10? B 20V 30? B 1.0? B? RB?C?
RBC 24V C C 2.0? C?
图2 方电路的等效电阻．由于B?、C?右方的电路与B、C右方的电路结构相同，而且都是无穷组合电路， 故有
RBC?RB?C? (1)
由电阻串、并联公式可得
20V (2)
30? 10V 10? B B 1.0? B? RB?C?
RBC?1?2RB?C?
2?RB?C?RBC 24V 18? 图1 2.0? C C 图2 由式(1)、(2)两式得
2RBC?RBC?2?0
C?
解得
RBC?2.0?
图1所示回路中的电流为
(3)
I?20?10?24A?0.10A
10?30?18?2(4) 20
全国高中物理竞赛大纲
