第一部分 第三章 课时12
命题点1 二次函数的实际应用
1．(2024·贵阳)六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(单位：cm)与滑行时间x(单位：s)之间的关系可以近似的用二次函数来表示.
滑行时间x/s 滑行距离y/cm
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约800 m，他需要多少时间才能到达终点？
(2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向上平移5个单位，求平移后的函数表达式．
解：(1)∵该抛物线过点(0,0)，∴设抛物线的解析式为y＝ax＋bx.将(1,4)，(2,12)代入，得
?a＋b＝4，????4a＋2b＝12，
2
0 0 1 4 2 12 3 24 … …
解得?
?a＝2，???b＝2，
2
∴抛物线的解析式为y＝2x＋2x. 当y＝80 000时，2x＋2x＝80 000， 解得x＝199.500 625(负值已舍去)， 即他需要199.500 625 s才能到达终点．
1212
(2)∵y＝2x＋2x＝2(x＋)－，∴向左平移2个单位，再向上平移5个单位后函数解
22121529
析式为y＝2(x＋2＋)－＋5＝2(x＋)＋.
2222
命题点2 二次函数与几何的综合
2．(2017·贵阳)我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：
(1)当抛物线经过点(－2,0)和(－1,3)时，求抛物线的表达式；
2
2
1
(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；
(3)如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．
解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx??a＝－3，???b＝－6，
2
??4a－2b＝0，
经过点(－2,0)和(－1,3)，∴?
??a－b＝3，
解得
2
∴抛物线的表达式为y＝－3x－6x.
bb2
(2)∵抛物线y＝ax＋bx的顶点坐标是(－，－)，且该点在直线y＝－2x上，∴－
2a4a2
b2b＝－2×(－)． 4a2a∵a≠0，∴－b＝4b，解得b1＝－4，b2＝0.
(3)由这组抛物线的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，及(2)可知，b＝－4或b＝0.
①当b＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不符合题意，舍去； ②当b＝－4时，抛物线的表达式为y＝ax－4x. 由题意可知，第n条抛物线的顶点为An(－n,2n)， 则Dn(－3n,2n)．
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn， ∴设第n＋k(k为正整数)条抛物线经过点Dn，
此时第n＋k条抛物线的顶点坐标是An＋k(－n－k,2n＋2k)，∴－＝－n－k，
2a2
2
bb2
∴a＝＝－，
2n＋kn＋k∴第n＋k条抛物线的表达式为y＝－
22
x－4x.∵Dn(－3n,2n)在第n＋k条抛物线上， n＋k 2
∴2n＝－
242
×(－3n)－4×(－3n)，解得k＝n. n＋k5
∵n，k为正整数，且n≤12，∴n1＝5，n2＝10. 当n＝5时，k＝4，n＋k＝9；
当n＝10时，k＝8，n＋k＝18＞12(舍去)， ∴D5(－15,10)．
∴此时满足条件的正方形AnBnCnDn 的边长为10.
3．(2016·贵阳)如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax＋4x＋c的图象交x轴于另一点B．
2
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段
ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．
解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1,0)，C(0,5)． ∵二次函数y＝ax＋4x＋c的图象过A，C两点，
??0＝a－4＋c，
∴?
?c＝5，?
2
2
??a＝－1，
解得?
?c＝5，?
2
∴二次函数的表达式为y＝－x＋4x＋5.
(2)令y＝－x＋4x＋5＝0，解得x＝5或x＝－1(舍去)， ∴点B的坐标为(5,0)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b， ∵直线BC过点B(5,0)，C(0,5)，
??5k＋b＝0，
∴?
?b＝5，?
2
??k＝－1，
解得?
?b＝5，?
∴直线BC的解析式为y＝－x＋5.
如答图1，设ND的长为d，N点的横坐标为n.
3
答图1
则N点的纵坐标为－n＋5，D点的坐标为(n，－n＋4n＋5)， 则d＝|－n＋4n＋5－(－n＋5)|， 由题意可知，－n＋4n＋5＞－n＋5， ∴d＝－n＋4n＋5－(－n＋5)＝－n＋5n＝ 5225－(n－)＋，
24
525∴当n＝时，线段ND长度的最大值是.
24
(3)由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2,9)，点M的坐标为(4,5)． 如答图2，作点H(2,9)关于y轴的对称点H1，
2
2
2
2
2
答图2
则点H1的坐标为(－2,9)，作点M(4,5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为(4，－5)， 连接H1M1，分别交x轴于点F，y轴于点E，则EH1＝EH，FM1＝FM， ∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求． 设直线H1M1的解析式为y＝k1x＋b1， ∵直线H1M1过点M1(4，－5)，H1(－2,9)，
??－5＝4k1＋b1，
∴?
?9＝－2k1＋b1，?
7
k＝－，??3解得?13
b＝??3.11
713
∴直线H1M1的解析式为y＝－x＋，
33
4
1313
∴点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)．
73
4．(2015·贵阳)如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于
2
A(－2,0)，B两点．
(1)a__＞__0，b－4ac__＞__0；(填“＞”或“＜”) (2)若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点
2
F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，
求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)＞，＞.
(2)∵直线x＝2是对称轴，A(－2,0)，∴B(6,0)．∵点C(0，－4)， 4a－2b＋c＝0，??2
∴将A，B，C的坐标分别代入y＝ax＋bx＋c，得?36a＋6b＋c＝0，
??c＝－4，
解得
??4
?b＝－3，??c＝－4，
a＝，
1
3
124
∴抛物线的函数表达式为y＝x－x－4.
33(3)存在．
(i)假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形．
如答图1，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形．
124
∵抛物线y＝x－x－4关于直线x＝2对称，
33∴由抛物线的对称性可知，点E的横坐标为4. ∵OC＝4，∴点E的纵坐标为－4.
5
（贵阳专用）2024中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第三章 函数 课时12 二次函数的综合与应用真题精练
