第3次作业题：
1、如图所示起重机小车，其质量为m1=2220kg,在质心A处用绳悬挂一重物B，其质量为m2=2040kg。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B以匀速v0=1m/s碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。
2、两个质量块m1和m2用一弹簧k相连，m1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成а角的光滑斜面上，如习题下图所示。若t=0时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t两质量块的位置。
答案：
22m2cos?2tt2m2x1?[??]gsin?k(m1?m2)2k(m1?m2)
22m2cos?2tt2m2x2?[??]gsin?
k(m1?m2)2k(m1?m2)3．如图，已知m2＝2×m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20=x10＝x20＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。
k1 m1 k2 m2 k3
答案：利用程序，易得 固有频率：
?n1=3.162277rad/s，?n2=5 rad/s
主振型：
主振型图示1.51.00.50.0-0.5-1.011 1-0.5
系统相应：
x1?0.4cos3.1622777t?0.8cos5t x2?0.4cos3.1622777t?0.4cos5t ?90?4．已知:[m]???,[c]=
011???0.1??1?110?50??1???0.1?,[k]=??5090?,{f(t)}=?2?,激振力频率
1???????=3rad/s,试求系统的稳态响应。
答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。
第四章 多自由度系统振动
§4-1 多自由度系统运动方程的建立
(引言：问题的提出。)工程中的机械振动问题，有一些可以简化成一个或两个自由度系统的振动问题，因此可以用前面几章中介绍的方法进行分析计算。但是也有很多问题不能采用这种过于简化的力学模型来进行分析。一般来说，各种机器及其零部件的质量和刚度都具有分布的性质，因此理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机器的结构比较复杂，若都按无限多自由度来处理，在数学上有很大的，甚至目前还无法解决的困难。因此，只好将系统的结构用一些离散的结构来理想化。这样就把弹性体变成数目有限个的离散单元组成的有限多自由度系统。
如前所述，振动系统有多少个自由度就有多少个固有频率和主振型，也就有多少阶主振动，因此弹性体就有无穷多阶主振动。但有意
义的只有前几阶，因为低阶主振动的节点少，比高阶主振动危险。因此把机器结构看成有限多自由度，并只研究其前几阶主振动一般已经足够了。
建立和求解多自由度系统振动的运动微分方程式，常常应用分析力学的方法，即根据拉格朗日方程式来建立系统的振动方程式，并应用矩阵（matrix）这一数学工具来进行分析计算。 一、拉格朗日法 {公式的推导见分析力学}
采用拉格朗日方程式来建立系统的振动方程式，这种方法比较规格化，不易出错。
按拉格朗日方法，系统的振动方程式可通过动能T、位能U、能量散失函数D来表示。即
d??T??T?U?D??????Qi???i??qi?qi?q?idt??q?i?1,2,?,n?
（4.1）
?i——分别为广义坐标和广义速度； 式中：qi、q
T、U——分别为系统的动能和位能（或势能）； D——能量散失函数；
Q——广义干扰力。
d?L?L{(?)??0}或者 dt ?qi?qi图4.1所示为三自由度的弹簧质量系统，P1、P2、P3为分别作用
于各质量上的干扰力。
取各质量偏离其平衡位置的位移x1、x2、x3为广义坐标，则广义
?1、x?2、x?3。 速度为x系统的动能即为质量m1、m2、m3为的动能之和，即：
122?12?m2x?2?3T?m1x?m3x2??
（4.2）
系统的势能即为弹簧1、2、3的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹簧力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动x距离后，弹簧的弹性恢复力kx对质量所作的功为：
12Ak??kxdx?kx
02x所以系统的势能为：
U?122k1x12?k2?x2?x1??k3?x3?x2? （4.3） 2??系统的能量散失函数即为系统在振动过程中的克服阻尼C1、C2、
?成线性关系，所以在振动?与振动速度xC3所作的功。因为阻尼力cx?的整个过程中，阻尼力对振动质量所作的功为 速度从0到x
12?dx?cx? Ac??cx02?x所以系统的能量散失函数为：
12?1?2?x?1?2?c3?x?3?x?2?2 D?c1x?c2?x2广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力P1、P2、P3。
??d??T?d?1222?????????mx?mx?mx112233??m1x1 故 dt??x??12??1?dt?x?T?122?12?m2x?2?3?m1x?m3x?0
?x1?x12???U?122?k1x12?k2?x2?x1??k3?x3?x2??x1?x12??k1?k2?x1?k2x2??
?D?1?12?c2?x?2?x?1?2?c3?x?3?x?2?2?c1x?1?x?12?x
?1?c2x?2??c1?c2?x将上列各式代入（4.1）式，即可求得m1的振动方程为：
???1??c1?c2?x?1?c2x?2??k1?k2?x1?k2x2?P1 （4.5） m1?xd??T?d?1222????????mx?mx?mx112233?m2x2 又????22dt??x2?dt?x???T?0 ?x2
07210第四章--多自由度系统振动(讲1)
