第二章 函数、导数及其应用
第一节
函数及其表示
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
知识点一 函数与映射的概念 1．函数的定义
一般地，设A，B是两个______的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有______确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作____________．
2．映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．
答案
1．非空 唯一 y＝f(x)，x∈A
1．2016年是闰年，假设月份的集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下：
月份 天数 1 31 2 29 3 31 4 30 5 31 6 30 7 31 8 31 9 30 10 31 11 30 12 31 对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？ 答案：是 不是 2．给出下列各组函数：
x22
①f(x)＝x，f(x)＝；②f(x)＝x，f(t)＝t；
x
2
③f(x)＝|x|，f(x)＝x；④f(x)＝2lnx，f(x)＝lnx. 其中表示同一个函数的序号是________．
解析：①中两个函数的定义域不同，不是同一个函数；②中两个函数的对应关系不同，不是同一个函数；③中的两个函数的对应关系和定义域都相同，是同一个函数；④中两个函数的定义域不同，不是同一个函数．
答案：③
知识点二 函数的三要素及表示方法
1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的______________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______．显然，值域是集合B的子集．
2．函数的三要素：________、______、________.
3．表示函数的常用方法有：________、________、________.
答案
1．定义域 值域
2．定义域 值域 对应关系 3．解析法 图象法 列表法
22
3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2 D．y＝
lgx
x
lgx
1
x
lgx
解析：函数y＝10的定义域为(0，＋∞)，又当x>0时，y＝10＝x，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D选项符合．
答案：D
4．(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x＋3x＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
解析：因为f(x)－f(a)＝x＋3x－a－3a，(x－b)(x－a)＝(x－b)(x－2ax＋a)＝x－(2a＋b)x＋(a＋2ab)x－ab，所以{3＝－2a－
2
2
2
3
2
3
2
2
2
2
3
2
3
2
2
＋2ab＝
－a－3a＝－ab ，解得a＝－2，b＝1.
3
2
2
答案：－2 1 知识点三 分段函数
若函数在其定义域内，对于________的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
答案
自变量
5．设f(x)＝{1－x，x≥0，A．－1 1
C. 2
1
解析：∵f(－2)＝，
4
x
，x＜0， 则f(f(－2))＝( )
1
B. 43D. 2
?1?∴f(f(－2))＝f??＝1－?4?
答案：C
11＝. 42
6．设函数f(x)＝{－x，x≤0，
2
2
，x>0. 若f(a)＝4，则实数a＝________.
解析：当a>0时，有a＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或a＝2.
答案：－4或2 热点一 函数的概念 【例1】 有以下判断： |x|
①f(x)＝与g(x)＝{1
x
－1
表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x－2x＋1与g(t)＝t－2t＋1是同一函数；
2
2
??1??④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f?f???＝0. ??2??
其中正确判断的序号是________． 【解析】 对于①，由于函数f(x)＝
|x|
的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝x
{1
－1
的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定
义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于
?1?③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f??＝?2??1－1?－?1?＝0，所以f?f?1??＝f(0)＝1. ?2??2???2??????????
2019届高考数学(文)大一轮复习教师用书：第2章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示
