2017年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
?1?cosx,x?0?1．若函数f(x)??在x?0处连续，则 ax?b,x?0?11 （B）ab?? （C）ab?0 （D）ab?2 221x1?cosx12【详解】lim，limf(x)?b?f(0)，要使函数在x?0处连续，f(x)?lim?lim?x?0?x?0?x?0?axax2ax?0?11必须满足?b?ab?．所以应该选（A）
2a2（A）ab?2．设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1，f(0)??1，且f??(x)?0，则（ ） （A）（C）
??1?10f(x)dx?0 （B）?f(x)dx?0
?11?1f(x)dx??f(x)dx （D）?f(x)dx??f(x)dx
0?10101【详解】注意到条件f??(x)?0，则知道曲线f(x)在??1,0?,?0,1?上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当x???1,0?时，f(x)??2x?1，当x??0,1?时，f(x)?2x?1，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以
?1?1f(x)dx??(?2x?1)dx??(2x?1)dx?0．所以选择（B）．
?10201当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数f(x)?2x?1，此时
111，可判断出选项（A），（C），（D）都是错误的，当然选择（B）．希望同f(x)dx??,f(x)dx????1?0330学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列?xn?收敛，则
（A）当limsinxn?0时，limxn?0 （B）当lim(xn?n??n??n??xn)?0时，limxn?0
n??n??(C）当lim(xn?xn)?0时，limxn?0 （D）当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0
n??n??n??2【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D）是正确的． 其实此题注意，设limxn?A，则
n??limsinxn?sinA,lim(xn?n??n??xn)?A?2A,lim(xn?xn)?A?A2,lim(xn?sinxn)?A?sinA n??n??分别解方程sinA?0,A?A?0,A?A2?0,A?sinA?0时，发现只有第四个方程A?sinA?0有唯
一解A?0，也就是得到limxn?0．
n??４．微分方程y???4y??89?e(1?cos2x)的特解可设为y*?（ ） （A）Ae（C）Ae2x2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （B）Axe2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) ?xe2x(Bcos2x?Csin2x) （D）Axe2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x)
22x【详解】微分方程的特征方程为r?4r?8?0，有一对共轭的复数根r?2?2i．
2x2x所以?1?2不是特征方程的根，所以对应方程y???4y??89?e的特解应该设为y1*?Ae；
2x而?2?2?2i是方程的单根，所以对应方程y???4y??89?ecos2x的特解应该设为xy2*?xe2x(Bcos2x?Csin2x)；从而微分方程y???4y??89?2e(1?coxs2特)解可设为的
y*?y1*?y2*?Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x)，应该选（C）．
5．设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0，则（ ） ?x?y（A）f(0,0)?f(1,0) （B）f(0,0)?f(1,1) （C）f(0,1)?f(1,0) （D）f(0,1)?f(1,0)
【详解】由条件对任意的(x,y)都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0可知f(x,y)对于x是单调增加的，?x?y对y就单调减少的．所以f(1,1)?f(1,0)?f(0,0),f(1,1)?f(0,1)?f(0,0),f(0,1)?f(0,0)?f(1,0)，只有第三个不等式可得正确结论（D），应该选（D）．
6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为t0，则（ ） （A）t0?10 （B）15?t0?20 （C）t0?25 （D）t0?25
【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，S(t)??T2T1v(t)dt表示时刻?T1,T2?内所走的路程．本题中的阴影面积S1,?S2,S3分别表示在时间段?0,10?,?10,25?,?25,30?内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在t?25时乙追上甲，应该选（C）．
?000????17．设A为三阶矩阵，P???1,?2,?3?为可逆矩阵，使得PAP?010，（ ） 2??3)???则A(?1???002???（A）?1??2 （B）?2?2?3 （C）?2??3 （D）?1?2?3 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知
?000??000?????A(?1,?2,?3)?AP?P?010????1,?2,?3??010???0,?2,2?3?
?002??002?????所以A(?1??2??3)?A?1?A?2?A?3??2?2?3，所以可知选择（B）．
?200??210??100???????8．已知矩阵A??021?，B??020?，C??020?，则
?001??001??002???????（A）A,C相似，B,C相似 （B）A,C相似，B,C不相似 （C）A,C不相似，B,C相似 （D）A,C不相似，B,C不相似
【详解】矩阵A,B的特征值都是?1??2?2,?3?1．是否可对解化，只需要关心??2的情况．
?000???对于矩阵A，2E?A??00?1?，秩等于1 ，也就是矩阵A属于特征值??2存在两个线性无关的特
?001???征向量，也就是可以对角化，也就是A~C．
?0?10???对于矩阵B，2E?B??000?，秩等于2 ，也就是矩阵A属于特征值??2只有一个线性无关的特
?001???征向量，也就是不可以对角化，当然B,C不相似故选择（B）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲线y?x(1?arcsin)的斜渐近线为 ．
2x2x(1?arcsin)yx?1，lim(y?x)?limxarcsin2?2，所以斜渐近线为y?x?2． 解：lim?limx??x??x??xx??xx?x?t?etd2y10．设函数y?y(x)由参数方程?确定，则2|t?0? ．
dx?y?sint?cost?d?t??1?e?d2y1dycostd2y(1?et)sint?etcostdt|??【详解】，所以． ?,???t?0dxdx28dx1?etdx2(1?et)3dt11
???0ln(1?x)dx . (1?x)2【详解】
???0??ln(1?x)1ln(1?x)????1dx??ln(1?x)d??|0??dx?1 22?00(1?x)1?x1?x(1?x)12．设函数f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知df(x,y)?yedx?x(1?y)edy，f(0,0)?0，则
yyf(x,y)? 【详解】df(x,y)?yedx?x(1?y)edy?d(xye)，所以f(x,y)?xye?C，由f(得C?0，0,0)0?，所以f(x,y)?xye． 13．
yyyyy?10dy?tanxdx? ． yx11xtanx1tanx1dydx?dxdy?tanxdx??lncosx??lncos1. ?0?yx?0?0x?0011【详解】交换二重积分的积分次序得：
?41?2??1?????14．设矩阵A??12a?的一个特征向量为?1?，则a? ．
?31?1??2?????【详解】根据特征向量的定义，有
?41?2??1??1??1?????????A???12a??1????1???3?2a?，解得a??1．
?31?1??2??2??2?????????三、解答题 15．（本题满分10分） 求极限lim?x?0?x0x?tetdtx3 【详解】令x?t?u，则t?x?u,dt??du，
?x0x?tetdt??x0uex?udu
x?0??limx0x?tetdtx3?lim?x?0ex?x0ue?udux3??limx?0?x0ue?udux3xe?x2?lim? x?0?3x3216．（本题满分10分）
d2ydy设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求|x?0，2|x?0．
dxdxx【详解】
dydy?f1?(ex,cosx)ex?f2?(ex,cosx)(?sinx)，|x?0?f1?(1,1)； dxdxd2yx?xxxxx?(ex,cosx)?????ef(e,cosx)?e(f(e,cosx)e?sinxf(e,cosx))?cosxf111122dx2
??(ex,cosx)?sinxexf21??(ex,cosx)?sin2xf22d2y??(1,1)?f2?(1,1)． |?f1?(1,1)?f112x?0dx
17．（本题满分10分） 求limnn???nk?1k2?k?ln?1?? ?n?【详解】由定积分的定义
k?k?1nk?k?1lim?2ln?1???lim?ln?1????xln(1?x)dxn???n?n??nk?1n?n?0k?1n
111??ln(1?x)dx2?20418．（本题满分10分）
已知函数y(x)是由方程x?y?3x?3y?2?0． 【详解】在方程两边同时对x求导，得
33n3x2?3y2y??3?3y??0 （1）
在（1）两边同时对x求导，得
2x?2y(y?)2?y2y???y???0
2(x?y(y?)2)也就是y????
1?y2
令y??0，得x??1．当x1?1时，y1?1；当x2??1时，y2?0 当x1?1时，y??0，y????1?0，函数y?y(x)取极大值y1?1； 当x2??1时，y??0，y???1?0函数y?y(x)取极小值y2?0． 19．（本题满分10分）
设函数f(x)在区间?0,1?上具有二阶导数，且f(1)?0，lim?x?0f(x)?0，证明： x（1）方程f(x)?0在区间?0,1?至少存在一个实根；
2017年考研数学二真题与解析
