一．命题陷阱 1.在某点处的切线方程 2.过某点的切线方程 3.与切线有关的最值问题 4.导数的物理意义 5.导数与反函数综合 6.导数的几何意义综合 7.分段函数的导数几何意义问题 二．陷阱示例及防范措施 1.在某点处的切线方程 例1. 曲线A. C. 【答案】B
或或
在点
处的切线方程是（ ） B. D.
练习1. 已知程为（） A. 【答案】A 【解析】由题意可得由
可得
为一固定的数，设
，
，则有
.
B.
C.
D.
是定义在
上的单调函数，满足
，则
在
处的切线方
当解得∴∴∴又∴曲线
时，有. ， 。 ， 。 在
,
处的切线方程为,即。选A。
【防陷阱措施】：本题的求解中，将进行代换求值，直到求出为止，从而得到练习2. 函数A. 2 B. 4 C. 【答案】A
的图像在
D.
为一固定的数成了解题的关键所在，然后在此基础上，再
，最后根据导数的几何意义可得切线方程。
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
练习3. 设函数
在点
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
处的切线的斜率为（ ）
A. B. 【答案】C 【解析】对函数方程为
C. D.
，求导可得
，∴
，∴
，∵，∴
在点在点
处的切线处切线
斜率为4，故选C. 练习4. 如右图，直线
与曲线
交于
两点，其中
是切点，记
，则下列判断正确的是（）
A. B. C. D.
只有一个极值点
有两个极值点，且极小值点小于极大值点 的极小值点小于极大值点，且极小值为-2 的极小值点大于极大值点，且极大值为2
【答案】D
∴当同理选D。
练习5. 已知函数
是定义在
的可导函数，
为其导函数，当
且
时，
时
有极大值，且极大值为
。
有极小值。结合图形可得的极小值点大于极大值点。
，若曲线在处的切线的斜率为，则（）
A. 0 B. 1 C. 【答案】C
D.
可得：函数在处取得极值，
．
故答案为
2.过某点的切线方程 例2. 过点
与曲线
相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】设切点为(
),
,所以切线方程为:
,代入
,得
,即这个关于的方程有两个解.化简方程为,即,令
(),,,在上单调递增,在上单调递减,,g(1)=0,
所以,所以.选B.
【防陷阱措施】对于曲线切点问题,一定要看清楚是在那个点,还是过那个点,如果不知道切点,需要自己设切点.通过求导求出切线方程,再代入过的那一定点. 练习1.过点A(2,1)作曲线
的切线最多有( )
A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条 【答案】A
3.与切线有关的最值问题 例3. 对任意的
，总有
，则的取值范围是（ ）
2024高考数学专题——导数的几何意义
