第1章 质点运动学补充习题
一、选择题
1. 一质点作曲线运动, 任一时刻的矢径为r, 速度为v, 则在?t时间内
???r ?t???r (C) ?r??r (D) 平均速度为
?t[ D ] (A) ?v??v (B) 平均速度为
?
?dvdv2. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的和的变化情
dtdt况为
??dvdvdvdv[ B ] (A) 的大小和的大小都不变 (B) 的大小改变, 的大小不
dtdtdtdt变
??dvdvdvdv(C) 的大小和的大小均改变 (D) 的大小不变, 的大小改变
dtdtdtdt
3. 一抛射物体的初速度为v0, 抛射角为?, 则该抛物线最高点处的曲率半径为 [ D ] (A) ? (B) 0
v02v02 (C) (D) cos2?
gg
???224. 一质点在平面上运动, 已知质点位置矢量的表示式为r?ati?btj(其中a、b为
常量) , 则该质点作
[ B ] (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物曲线运动 (D) 一般曲线运动
5 一质点在xOy平面内运动, 其运动方程为x?Rsin?t??Rt, y?Rcos?t?R, 式中R、?均为常数. 当y达到最大值时该质点的速度为
[ B ] (A) vx?0,vy?0 (B) vx?2R?,vy?0 (C) vx?0,vy??R? (D) vx?2R?,vy??R?
6. 某物体的运动规律为度v与时间t的函数关系是:
dv??kv2t, 式中k为常数．当t = 0时，初速度为v0．则速dt121kt?v0 (B) v??kt2?v0 221kt211kt21 (C) (D) ?????v2v0v2v0[ C ] (A) v?
1 T1-1-35图 7. 站在电梯内的人, 看到用细绳连结的质量不同的两物体跨过电梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态, 由此他断定电梯作加速运动, 其加速度的 [ B ] (A) 大小为g, 方向向上 (B) 大小为g, 方向向下 (C) 大小为g/2, 方向向上
(D) 大小为g/2, 方向向下
8. 某人骑自行车以速率v向正西方行驶, 遇到由北向南刮的风(设风速大小也为v ), 则他感到风是从
[ C ] (A) 东北方向吹来 (B) 东南方向吹来
(C) 西北方向吹来 (D) 西南方向吹来
9. 在相对地面静止的坐标系内, A、B两船都以2 m.s-1的速率匀速行驶. A船沿x轴正向, B船沿y轴正向．现在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系, 则从A船上看B船, 它对A船的速度(SI)为：
????[ B ] (A) 2i?2j (B) ?2i?2j
???? (C) ?2i?2j (D) 2i?2j
yA?B T1-1-38图
?vxO
10. 一飞机相对空气的速度为200 km.h-1, 风速为56 km.h-1, 方向从西向东. 地面雷达测得飞机的速度大小是192 km.h-1, 方向是
[ D ] (A) 南偏西16.3? (B) 北偏东16.3? (C) 西偏东16.3? (D) 正南或正北 y? Av. 用枪射击挂在空气中的目标A, 在发射子
弹的同时, 遥控装置使A自由下落, 假设不计空气阻力, 要
Ox击中A, 枪管应瞄准?
[ A ] (A) A本身 (B) A的上方 T1-1-40图
(C) A的下方 (D) 条件不足不能判定
12. 在离水面高为h的岸边, 一电动机用绳子拉船靠岸．如果电动机收绳速率恒为u, 则船前进速率v
u[ C ] (A) 必小于u (B) 必等于u (C) 必大于u (D) 先大于u后小于u h 二、选择题 11
T1-1-41图
1
t?
?以初速率v0、仰角?(设??45)将一物体抛出后, 到
v02(sin??cos?)时刻, 该物体的切向加速度为 ( ?g)． g32 一质点沿x轴作直线运动, 在t = 0时, 质点位于x0 =2m处. 该质点的速度随时间变
2
化的规律为v?12?3t( t以秒计)． 当质点瞬时静止时，其所在位置为 18 m ，加速度分别为 -12m s2 ．
2???3. 已知一个在xoy平面内运动的物体的速度为v?2i?8tj．已知t = 0时它通过(3, -7)
??位置．则该物体任意时刻的位置矢量 = (2t?3)i?(4t2?7)j．
4. 距河岸(看成直线)300 m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n?1r/min转动，当光束与岸边成30°角时，光束沿岸边移动的速率v? 62.8m?s-1 ．
三、计算题
1. 质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ 秒增加a0 ，求经过 t秒后质点的速度和位移． . 解：由题意可知，加速度和时间的关系为:
a?a0?根据直线运动加速度的定义 a?a0?t
dv dtttadvv?v0??dt??adt??(a0?0)dt00dt?
a02?a0t?t2?v?a0t?a02t 2?因为t=0 时，v0=0，故
根据直线运动速度的定义有 v?dx dtttadxdt??vdt??(a0?0t2)dt
00dt2?a312 x?x0?a0t?0t
26?a2a3因为t=0 时，x0=0 ，则位移为x?0t?0t
26?x?x0??2. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a ＝－k y，式中k为常数，y是以平衡位置为原点所测得的坐标．假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．
解：加速度 a?dvdvdydv???v???ky，分离变量积分 dtdydtdy 3
?vv0vdv???kydyy0y121122v?v0?ky0?ky222222所以得 v2?v0?ky0?y2
???
?
3
??? (1) 对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量i和j表示其位置矢量r,
??并由此导出速度v和加速度a的矢量表达式．
P?(2) 试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心． ????? r?xi?yj?rcos?i?rsin?j
dxd?(rcos?)??r?sin? vx?dtdtdyd?(rsin?)?r?sin? vy?dtdtd?式中，??，???t ，且根据题意?是常数，所以，有
dt????? v?vxi?vyj??r?sin?i?r?cos?j
又因 ay? 解：(1) 由A1-3-6图可知
ORT1-3-7图 A1-3-6图 ??r?2sin? dt?????22所以 a?axi?ayj??r?cos?i?r?sin?j
?????222(2) a?(?r?cos?)i?(?r?sin?)j???(rcos?i?rsin?j)
??22? ???(xi?yj)???r ???由上式可见， a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心．
dvy4. 如T1-3-7图所示，质点P在水平面内沿一半径为R = 2m的圆轨道转动．转动的角速度?与时间t的函数关系为??kt(k为常量)．已知t＝2s时，质点P的速度值为32m?s-1．试求t＝1s时，质点P的速度与加速度的大小．
解：先根据已知条件求k．t = 2s时，P点的速度值
P 2v?R??Rk?2?32
23232??4(rad?s?3) 4R4?222?1t = 1s时，P的速度大小为v?Rkt?2?4?1?8m?s
dv?2Rkt?2?2?4?1?16?m?s?2? 切向加速度的大小at?dtv2?k2Rt4?42?2?1?32?m?s?2? 法向加速度的大小 an?R所以 k?OR??A1-3-7图
4
加速度的大小为 a?
at?an?162?322?35.822?m?s?
?22
5一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径R= 2.2cm，外半径为R= 5.6cm，径
1
向音轨密度N = 650条/mm．在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v =1.3m/s的恒定线速度运动的．(1)这张光盘的全部放音时间是多少? (2) 激光束到达离盘心r =5.0cm处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少?
8. 解：“照射点”相对光盘的线速度恒定，因而激光束照射在光盘上离盘心远近不同的位置处时，光盘旋转的角速度和角加速度各不相同．
(1) 设某时刻激光束射到盘上距盘心的距离为r的某点，并在盘
上取一半径为r、宽度为dr 的圆环状区域 音轨示例 圆环内音轨数：Nd r R2圆环内音轨长度：2π r(Nd r) drr 则划过圆环内音轨的时间为 R1?O 2π rNd r d t?
v 激光束 全部放音时间
2π rNd rπN2?(R2?R12) T??d t??R1vvπ?650?103?[(0.056)2?(0.022)2]? 1.3?4.16?103s?69.4 minR2
A1-3-8图
(2) 距角速度与线速度的关系，光盘离盘心r =5.0cm处的角速度为
??角加速度为
v1.3??26 rad?s-1 r0.05d?dvv2drv2vv2???()???????? 3dtdtrrd tr2πrN2πNr
在r =5.0cm处
v2(1.3)2?3-2 ???????3.31?10 rad?s3322πNr2π?650?10?(0.05)角加速度是负值说明光盘的角速度随r的增大而减小．
dr并不是题目中已知的线速度v，而是单位时间内“照射点”d t2π rNd rdrdrv的r的增量．由前，d t?，所以 ??vdt2πrNdr2π rNv请注意：角加速度式中的
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第1章-质点运动学补充习题
