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初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
?a＋2b+3c＝0
1．设非零实数a，b，c，满足?
?2a＋3b+4c＝0
6
则
ab+bc+ca的值为（ ）
a2+b2+c2
7
11
（A）— （B）0 （C） （D）1
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2．已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，
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x2，则下列关于x的一元二次方程中，以
1 x1
2
，1 x22
为两个实根的是（ ）
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（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0 3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E，若AD，DB，CD的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是．．．有理数的为（ ）
（A）OD （B）OE （C）DE （D）AC
4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8
3x3y+3x2y2+xy3+45
5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：x?y=，
(x+1)3+(y+1)3—60
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1
20 且x?y?z=（x?y）?z，则2013?2012?…?3?2的值为（ ）
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6071821546316389
（A） （B） （C） （D） 967 967 967 967
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．设a=33，b是a2的小数部分，则(b+2)3的值为____________．
7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△
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CDF，△BFE，△BCF的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD的面积是____________．
8．已知正整数a，b，c满足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，则abc的最大值为__________． 9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a，b，一元二次方程
x2+ax+b=0的两根为c，d，则所有满足条件的数组（a，b，c，d）为___________________________________．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠笔．
A D E E A
C D C 34 35 36 37 38 39
E
B B C F A D O B 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，抛物线y=ax2+bx—3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴
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交于点C，且OB=OC=3OA，直线y=—x2+1与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE．
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y
D x A O B C E 12．设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度数．
13．设a，b，c是素数，记x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，当z=y，x－y=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的魔术数．
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最新2013年全国初中数学竞赛试题及答案
